位相的性質

位相的性質

位相的性質（英: topological property）または位相不変量（英: topological invariant）は、位相空間が持つ性質のうち、同相写像によってそのまま引き継がれるものを指します。これは、空間の開集合を用いて表現できる性質であると捉えることができます。

位相幾何学では、二つの空間が同相であるか否かを判別することが重要な問題の一つです。空間が同相でないことを示すためには、それらが異なる位相的性質を持つことを一つ示すだけで十分です。

以下に、主な位相的性質を分類して紹介します。

濃度に関する性質

空間を集合として見たときの「大きさ」や、位相構造の「細かさ」に関連する性質です。

濃度 |X|: 空間 X を集合として見た点の個数です。
位相濃度 τ(X): 空間 X の開集合全体の集合の濃度です。
荷重 w(X): 空間 X の開基となる集合族のうち、最小の濃度です。
密度 d(X): 閉包が空間全体となる（稠密な）部分集合のうち、最小の濃度です。

分離性に関する性質（分離公理）

空間内の点や集合を、互いに交わらない開集合（近傍）によってどの程度分離できるかを示す性質群です。これらの定義は文献によって異なる場合があります。

T0（コルモゴロフ）: 異なる2点 x, y に対し、片方を含むが開集合で他方を含まないものが存在します。
T1（フレシェ）: 異なる2点 x, y に対し、xを含むが開集合でyを含まないものが存在します。これは任意の一点集合が閉であることと同値です。
Sober: 任意の既約閉集合がただ一つの生成点（その点の閉包が集合に一致する点）を持つ性質です。
T2（ハウスドルフ）: 異なる2点に対し、互いに交わらない近傍が存在します。
T2½（ウリゾーン）: 異なる2点に対し、互いに交わらない閉近傍が存在します。
完全T2（完全ハウスドルフ）: 異なる2点に対し、それらを分離する連続関数が存在します。
正則: 任意の閉集合 C とそれに含まれない点 p に対し、Cとpの互いに交わらない近傍が存在します。
T3（正則ハウスドルフ）: 正則かつT0空間です。
完全正則: 任意の閉集合 C とそれに含まれない点 p に対し、C上で0、pで1となる連続関数が存在します。
T3½（チホノフ、完全正則ハウスドルフ）: 完全正則かつT0空間です。これはチホノフ空間とも呼ばれます。
正規: 交わらない2つの閉集合に対し、互いに交わらない近傍が存在します。
T4（正規ハウスドルフ）: 正規かつT1空間です。
全部分正規: 任意の分離された（閉包が交わらない）集合対に対し、互いに交わらない近傍が存在します。
T5（全部分正規ハウスドルフ）: 全部分正規かつT1空間です。
完全正規: 交わらない2つの閉集合に対し、それらを「ちょうど分離する」連続関数が存在します。
T6（完全正規ハウスドルフ）: 完全正規かつT1空間です。

可算性に関する性質

空間の位相構造を記述するのに可算個の情報で十分かを示す性質です。

可分: 可算な稠密部分集合を持つ性質です。
第一可算: 各点が可算な基本近傍系を持つ性質です。
第二可算: 可算な開基を持つ性質です。第二可算空間は可分かつ第一可算かつリンデレーフです。

連結性に関する性質

空間が「つなぎ目なく一つになっている」かどうかに関連する性質です。

連結: 空間全体と空集合以外に開かつ閉である集合が存在しない性質です。
局所連結: 各点が連結な集合からなる基本近傍系を持つ性質です。
完全不連結: 1点より多い点を含む連結部分集合を持たない性質です。
弧状連結: 任意の2点を結ぶ連続な道が存在する性質です。弧状連結空間は連結です。
局所弧状連結: 各点が弧状連結な集合からなる基本近傍系を持つ性質です。
単連結: 弧状連結であり、かつ空間内の全ての閉曲線が一点にホモトピックである性質です。
局所単連結: 各点が単連結な近傍からなる基本近傍系を持つ性質です。
半局所単連結: 各点が、その中の任意のループが空間全体で可縮となる近傍を持つ性質です。
可縮: 空間上の恒等写像が一点への定値写像にホモトピックである性質です。可縮空間は単連結です。
Hyper-connected: 交わらない空でない開集合対が存在しない性質です。
Ultra-connected: 交わらない空でない閉集合対が存在しない性質です。
密着空間: 開集合が空集合と全体空間のみである性質です。

コンパクト性に関する性質

空間の「小ささ」や「有界性」の位相的な捉え方に関連する性質です。

コンパクト: 任意の開被覆が有限部分被覆を持つ性質です。ハウスドルフ空間では、これにより正規性などが導かれます。
点列コンパクト: 任意の点列が収束する部分列を持つ性質です。
可算コンパクト: 任意の可算開被覆が有限部分被覆を持つ性質です。
擬コンパクト: 空間上の任意の実数値連続関数が有界である性質です。
σ-コンパクト: 可算個のコンパクト部分集合の合併である性質です。
リンデレーフ: 任意の開被覆が可算部分被覆を持つ性質です。
パラコンパクト: 任意の開被覆が局所有限な開細分を持つ性質です。
局所コンパクト: 各点がコンパクトな近傍を持つ性質です（複数の定義あり）。
超連結コンパクト: コンパクトかつHyper-connectedな空間です。

距離付け可能性に関する性質

空間の位相が、距離関数によって導入される位相と一致するかどうかを示す性質です。

距離化可能: 適当な距離空間と同相である性質です。距離化可能空間はハウスドルフ、パラコンパクト、第一可算です。
ポーランド空間: 可分かつ完備な距離で距離化可能な空間です。
局所距離化可能: 各点が距離化可能な近傍を持つ性質です。

その他の重要な性質

上記の分類に入らない、様々な位相的性質です。

ベール空間: 空間自身が第一類集合の可算和で表せない性質です。稠密な開集合の可算交叉が稠密であることと同値です。
位相的等質性: 任意の2点を互いに移す同相写像が存在する性質です。どの点で見ても同じように見える空間です。
有限生成（アレキサンドロフ空間）: 任意の濃度の開集合の交叉が再び開集合となる性質です。
零次元: 開かつ閉である集合からなる基底を持つ性質です。
概離散: 任意の開集合が閉でもある（開かつ閉である）性質です。
ブール空間: 零次元、コンパクト、ハウスドルフな空間です。
κ-可解: どの二つも交わらないκ個の稠密集合を持つ性質です。
極大可解: その分散指標Δ(X)（空でない開集合の最小濃度）に対してΔ(X)-可解である性質です。
強離散: 任意の非孤立点が、ある強離散部分集合（全ての点が互いに交わらない近傍で分離できる集合）の集積点となる性質です。

これらの位相的性質は、位相空間論において空間の構造を解析し、異なる空間を比較・識別するための基本的な概念として用いられます。

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