連結空間

連結空間とは

位相幾何学において、連結空間は、その空間を二つ以上の互いに素な空でない開集合の和として表現できない位相空間を指します。これは位相空間の重要な性質であり、空間を区別するために利用されます。より強い連結性として、任意の二点が道で結ばれる「弧状連結」という概念があります。

定義

[位相空間]が非連結であるとは、Xが二つの交わりのない空でない開集合AとBの和集合（非交和）で表せることを意味します。言い換えると、次の条件を満たす開集合A, Bが存在します。

X = A ∪ B
A ∩ B = ∅
A ≠ ∅
B ≠ ∅

この条件を満たさないとき、Xは連結であると言います。また、位相空間の部分集合が連結であるとは、その部分集合が相対位相において連結であることを指します。

連結性の同値な条件

位相空間Xに対し、以下の条件は全て同値です。

1. Xは連結である。
2. Xは二つの交わりのない空でない閉集合の和として書くことができない。
3. Xの開かつ閉な部分集合は、X自身と空集合のみである。
4. Xの部分集合で、境界を持たないものは、X自身と空集合のみである。
5. Xは、二つの空でない分離集合の和として書くことができない。
6. Xから{0, 1}への任意の連続写像は定数写像である。（ここで{0, 1}は離散位相を持つ二点空間）

連結成分

空でない位相空間の極大な連結部分集合を連結成分と呼びます。連結成分が空間全体に一致する場合、その空間は連結です。位相空間の連結成分は、空間を分割し、互いに素で空でなく、合併すると空間全体となります。また、同じ連結成分に属するという関係は同値関係を定義します。各成分は閉集合であり、成分の個数が有限であれば開集合にもなります。しかし、無限個の成分がある場合は、必ずしも開集合とは限りません。

点xの連結成分をΓx、xを含むすべての開かつ閉集合の交わりをΓx'とすると、Γx ⊂ Γx' が成り立ち、Xがコンパクトハウスドルフ空間または局所連結空間であれば、等号が成り立ちます。

全不連結空間

位相空間の連結成分がすべて一点集合であるとき、その空間は全不連結または完全不連結と呼ばれます。例として、有理数全体の集合やp進数体などが挙げられます。

さらに、位相空間Xにおいて、異なる二点に対し、それぞれ交わりのない開近傍を選んでXを覆うことができる場合、Xは完全分離的であると言います。完全分離空間は完全不連結ですが、逆は成り立ちません。

例

閉区間[0, 2]は連結です。例えば、[0, 1)と[1, 2]の和集合に分割できますが、後者は[0, 2]の開集合ではありません。一方、[0, 1)と(1, 2]の和集合は非連結空間です。
凸集合は連結であり、さらに単連結です。
原点を除いたユークリッド平面は連結ですが、単連結ではありません。
実数全体の集合は連結です。
離散空間は非連結であり、実際には完全不連結です。
密着空間は連結です。
カントール集合は非可算無限個の点を含む完全不連結空間です。
連結空間とホモトピックな空間は連結です。

弧状連結

位相空間Xの任意の二点a, bが道で結ばれるとき、Xは弧状連結または道連結であると言います。ここで、道とは、f(0) = a かつ f(1) = b を満たす単位閉区間[0, 1]からXへの連続写像fのことです。弧状連結な位相空間は常に連結です。

ただし、連結でも弧状連結でない空間も存在します（例：アレクサンドロフの長い直線、位相幾何学者の正弦曲線）。実数直線上の部分集合では、連結と弧状連結は同値であり、それは区間に限られます。n次元数空間においては、連結な開部分集合は常に弧状連結です。

弧連結

弧状連結空間が、二点を結ぶ道として常に弧（単位区間との同相写像）を選べる場合、その空間は弧連結であると言います。弧状連結なハウスドルフ空間は弧連結です。弧状連結でも弧連結でない例として、非負の実数に第二の0を加えた空間があります。

局所連結性

連結集合からなる開基を持つ位相空間は、局所連結であると言います。位相空間Xが局所連結であることは、Xのどの開集合の連結成分も開集合であることと同値です。連結だが局所連結でない例として、位相幾何学者の正弦曲線が挙げられます。

同様に、弧状連結な部分集合からなる開基を持つ位相空間は、局所弧状連結であると言います。局所弧状連結空間の開集合が連結ならば、弧状連結です。

性質

連結性は位相的な性質で、同相写像で保たれます。
連続写像によって、連結な空間の像は連結、弧状連結な空間の像は弧状連結です。
連結部分集合の族で、どの二つも交わりを持つならば、その和集合は連結です。
弧状連結空間は常に連結です。
局所弧状連結空間は常に局所連結です。
局所弧状連結空間が弧状連結であるのは、それが連結であるときのみです。
連結成分は弧連結な成分の非交和として表されます。
局所連結空間の連結成分は開かつ閉です。
連結集合の閉包は連結です。
連結空間の商空間は連結、弧状連結空間の商空間は弧状連結です。
連結集合の直積は連結、弧状連結空間の直積は弧状連結です。
局所連結空間の開集合は局所連結、局所弧状連結空間の開集合は局所弧状連結です。
多様体はすべて局所弧状連結です。

より強い連結性

超連結空間は連結です。
単連結空間は弧状連結なので連結です。ただし、単連結性の定義から弧状連結の仮定を落とすと、連結とは限りません。
可縮空間は弧状連結なので連結です。
弧状連結空間は連結ですが、連結でも弧状連結でない空間が存在します。

関連項目

一様連結空間
n連結
局所連結空間
単連結
連結グラフ

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