余代数

余代数（Coalgebra）

余代数とは、単位元を有する結合代数に対して、その圏を双対とした数学的構造を指します。この概念は、線型代数や圏論の分野で重要な役割を果たします。余代数の本質を理解するための基本的な定義や性質をここで説明します。

定義

まず、体を $K$ とし、$K$ 上のベクトル空間を $C$ としましょう。このとき、次のような二つの線型写像が存在します。

• - 余積を定義する線型写像 $\Delta : C \to C \otimes C$
• - 余単位を定義する線型写像 $\varepsilon : C \to K$

これらの写像が次の条件を満たすとき、$(C, \Delta, \varepsilon)$ は余代数と呼ばれます。具体的な条件は以下の通りです：

1. 余結合律:
$$ (\mathrm{id} \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}) \circ \Delta $$
2. 余単位律:
$$ (\mathrm{id} \otimes \varepsilon) \circ \Delta = \mathrm{id} = (\varepsilon \otimes \mathrm{id}) \circ \Delta $$

これらの条件が満たされるとき、$\Delta$ は余積、$\varepsilon$ は余単位と呼ばれます。

余代数射

余代数 $(C, \Delta, \varepsilon)$ と別の余代数 $(D, \Delta', \varepsilon')$ に対して、$K$-余代数の間の線型写像 $f : C \to D$ が以下の条件を満たす場合、$f$ を余代数射と呼びます：

• - $$ \Delta' \circ f = (f \otimes f) \circ \Delta $$
• - $$ \varepsilon' \circ f = \varepsilon $$

余代数射は、上記の等式が成り立つことで、余代数の構造を保つ写像となります。

部分余代数

余代数 $(C, \Delta, \varepsilon)$ の部分集合 $D \subset C$ が部分余代数であるためには、$$ \Delta(D) \subseteq D \otimes D $$ という条件を満たす必要があります。この場合、$(D, \Delta |_{D}, \varepsilon |_{D})$ は余代数の構造を持ちます。

余イデアル

余代数の部分ベクトル空間 $I$ が余イデアルであるとは、次の条件が満たされることを指します：

• - $$ \Delta(I) \subseteq I \otimes C + C \otimes I $$
• - $$ \varepsilon(I) = 0 $$

この条件を満たすとき、商ベクトル空間 $C/I$ もまた余代数の構造を持ちます。

余可換余代数と逆余代数

余代数が余可換であるとは、$$\mathrm{tw} \circ \Delta = \Delta $$ が成り立つことを意味します。このとき、逆余代数は新たに定義された余積を持ち、元は元の順序とは逆になります。

SweedlerのΣ記法

余代数において、余積を次のように表現します：
$$ \Delta(c) = \sum c_{(1)} \otimes c_{(2)} $$

この表記法を用いることで、余代数の基本的な性質に簡単にアクセスできるようになります。特に、余結合律や余単位律を適用する際に有効です。

例

余代数の具体的な例として、空でない任意の集合 $S$ と、その元を基底とする $kS$ を考えます。任意の元 $s \in S$ に対して、$$ \Delta(s) = s \otimes s, \quad \varepsilon(s) = 1 $$ で定義され、これにより $(kS, \Delta, \varepsilon)$ は $k$-余代数として成立します。

また、行列余代数や局所有限半順序集合から構成された余代数も興味深い例です。これらの例を通じて、余代数の理論が数学のさまざまな領域においてどのように応用されるかが明らかになります。

参考文献

• - Tomasz Brzezinski; Robert Wisbauer (2003). Corings and Comodules. Cambridge University Press.
• - Moss E. Sweedler (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin.
• - Sorin Dăscălescu; Constantin Năstăsescu; Șerban Raianu (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 235. Marcel-Dekker.

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