信念の階層

概要

ゲーム理論において、プレイヤーが互いの戦略、利得関数、さらには相手が持つ個人的な情報（私的情報）について完全に把握していない状況は一般的です。このような「情報不完備」な状況下で、プレイヤーは手元にある限られた情報に基づいて、未知の要素、とりわけ他のプレイヤーの行動や属性について確率的な「予想」を立てざるを得ません。この確率的な予想のことを、ゲーム理論では一般に「信念」と呼びます。

「信念の階層」とは、この「信念」という概念が、さらに高次のレベルで再帰的に積み重なっていく構造を指します。つまり、あるプレイヤーが「他のプレイヤーのタイプについてどう思っているか」という信念だけでなく、「他のプレイヤーが、自分（自身）や他のプレイヤーのタイプについてどう思っているか」ということに関する信念、さらにその上の階層の信念、といった具合に、無限に続く信念の連鎖構造を考えます。自身の信念、相手の信念に関する自身の信念、相手の信念に関する相手の信念に関する自身の信念...という形で、階層はいくらでも高くなります。この構造は、不確実な状況下でのプレイヤー間の複雑な相互作用や推測のプロセスを捉える上で極めて重要になります。

背景

信念の階層という概念は、不完備情報ゲームを数学的に整合性のある形でモデル化しようとする取り組みの中から生まれました。特に、ノーベル経済学賞を受賞したゲーム理論家であるジョン・ハーサニは、不完備情報を扱う際に、各プレイヤーがそれぞれ異なる「タイプ」を持つと考え、このタイプがそのプレイヤーの利得構造や私的情報を決定するというモデルを提唱しました。しかし、ハーサニのモデルを厳密に分析するためには、プレイヤー間で相互に持ち合う信念をどのように体系的に記述するかが大きな課題でした。

この課題に対し、数学者のジャン＝フランソワ・メルタンとゲーム理論家のシミュエル・ザミールは、信念の階層という革新的な概念を導入しました。彼らは、プレイヤーが形成する信念を階層的に構造化することで、ハーサニの提唱したタイプの概念に基づいた不完備情報ゲームを、数学的に統一された枠組みの中で分析することを可能にしました。彼らの研究は、不完備情報ゲーム理論の発展に決定的な貢献を果たしました。

階層構造の詳細

信念の階層は、段階を追って理解することができます。最も基本的なレベル、すなわち1階の信念は、あるプレイヤーが他のプレイヤーの「タイプ」（私的情報を含む属性）について抱く確率的な予想です。例えば、「相手プレイヤーAはコストが高いタイプである確率がp%、コストが低いタイプである確率が1-p%だ」といった予想がこれにあたります。

次に、2階の信念は、あるプレイヤーが「他のプレイヤーが自分自身や他のプレイヤーのタイプについて、どのような1階の信念を持っているか」についての確率的な予想です。例えば、「相手プレイヤーBは、『私が相手プレイヤーAについて、コストが高いタイプだと信じている確率が高い』と信じているだろう」といった具合です。さらに、3階の信念は、2階の信念に関する信念...というように、階層は無限に高くなります。

メルタンとザミールは、このような高次の信念を、各プレイヤーの「タイプ」に対応付ける形で再帰的に構築できる体系を示しました。この体系において、各プレイヤーのタイプは、単にそのプレイヤー自身の属性だけでなく、他のプレイヤーのタイプに関する信念、その信念に関する信念、...という無限の階層全体を表現するものとなります。これにより、プレイヤーは自身の信念だけでなく、相手が自分や他者についてどう考えているか、さらに相手が自分の考えについてどう考えているか、といった複雑な相互認識をモデルに組み込むことが可能になります。

理論的意義と関連概念

メルタンとザミールは、この信念の無限の階層が、特定の数学的な整合性条件を満たす限り、「タイプの普遍空間 (universal type space)」と呼ばれる抽象的な空間の要素と一対一に対応することを示しました。この普遍空間は、考えうるあらゆる情報と信念の階層の組み合わせを包含しており、不完備情報ゲームの分析において非常に強力な概念基盤となります。さらに、彼らは、この普遍空間が、より単純な有限個のタイプから構成される有限部分空間によって、いくらでも高精度に近似できることも証明しました。この結果は、無限の階層という複雑な概念を、有限のモデルで扱う可能性を示唆しています。

信念の階層と類似した再帰的な構造を持つ概念は、ゲーム理論以外の分野や文脈でも見られます。有名な例として、ロバート・オーマンによって厳密に定義された「共有知識 (common knowledge)」があります。これは、ある事柄Eについて、「Eは全員に知られている」、「全員がEは全員に知られていることを知っている」、さらにその上の階層も無限に続く状態を指します。また、「囚人と帽子のパズル」のような、論理的な推論を必要とするパズルも、参加者間の知識の階層を扱っていると言えます。

ただし、これらの「共有知識」やパズルで扱われる概念は、一般的に「知識」（真であると確定した情報）の階層を指すことが多いのに対し、本稿で述べるゲーム理論における信念の階層は、あくまで情報不完備な状況下での「確率的な予想」としての信念を扱っている点で異なります。信念の階層は、不確実性や推測が中心となる戦略的な相互作用を分析するための、ゲーム理論に特化した重要なツールとして広く応用されています。

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