元 (数学)

元の定義とその特性

数学の集合論において、元（げん）とは集合を構成する個々の要素を指します。元は英語で「element」や「member」とも呼ばれ、集合の基本的な構成単位としての役割を果たします。集合を表す記号言語の中では、対象 x が集合 E の元であることを「x ∈ E」と記述します。ここで「∈」は「属する」という意味を持ち、対象が集合の中に含まれていることを示します。元はしばしば「点」とも表現され、集合はその点からなる空間と見なされます。

帰属関係と集合の性質

元と集合との関係、すなわち「属する」という概念は、数学における非対称な二項関係であり、帰属関係と呼ばれます。この関係は、外延性の公理によって強く特徴づけられます。この公理により、集合はその集合に含まれる全ての元から定義されます。

通常、集合論の一つであるZF（ツェルメロ・フレンケル集合論）では、任意の集合は自分自身を元として持つことはない、という基礎の公理が存在します。このため、帰属関係は反対称であり、推移的ではないという特性を持っています。この点は、集合の包含関係が推移的であることと対照的です。

歴史的背景と素朴な定義

集合の歴史的な定義については、Cantorが1895年に述べたように、集合論を形成するための初歩的な理解でも活用できます。具体例として、集合 M = {1, 2, 3} があるとします。この場合、1、2、3はいずれも M の元であり、元であることと部分集合であることは異なる概念であることに注意が必要です。M の部分集合としては {1, 2} や {3} が存在しますが、これらは M の元ではありません。

現代的な集合論における定義

現代の集合論は、形式論理に基づいており、元と集合の関係を一階述語論理で記述します。「x が M の元である」という文は「x ∈ M」という形式で表現されます。この記述法については、ハウスドルフが指摘するように、元そのものに基づく概念から定義を構成する手法ではないことが重要です。

集合と類の違い

元が属する対象 M が集合である場合もあれば、類（クラス）である場合もあります。特に、圏論のような文脈では、元は圏に属する対象として類と考えられることが一般的です。ZF(C)集合論では、元を単一の述語として類として考えることが多く、「x が類 M の元である」とは、単に述語 P を用いた式 P(x) を指します。

元の種類と特異性

ZFC集合論ではすべての元は集合として表現されますが、別の集合論では元が必ずしも集合でない場合もあります。このような元を原子や ur-element（根源的元）と呼びます。これにより、元の概念は数や点、辺、そして数理的な枠組みの中での関数だけではなく、星や分子のような他の対象にまで広がることができます。

代数系における元

代数系の研究では、その構造に特有の性質を持つ元に対して特別な名称が付けられることがあります。例えば、単位元や吸収元などはその典型例です。元の名付けは、その性質や役割に基づいて特定のコミュニティで使用されます。

まとめ

元は集合論において基本的かつ重要な概念であり、数学の他の多くの分野にも応用されていることが分かります。集合や類との関係、さらに新たな元の定義について、これからの数学的探求の中でも意義深く活用されることでしょう。他の関連項目としては、含まれる関係や代数系に関する議論も興味深いトピックです。

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