全順序群

全順序群についての概説

全順序群（ぜんじゅんじょぐん）とは、抽象代数学の分野において、群とその群上の全順序との組み合わせによって構成される数学的対象です。具体的には、群 G と全順序関係「≤」が互いに関連し、「≤」が移動不変性を満たす場合に全順序群と呼ばれます。移動不変性とは、群の元に対してある種の操作を行った際に、その元の順序が変わらないことを指します。

順序群の分類

全順序群はさらに、左順序群、右順序群、両側順序群の3つに分類されます。左順序群は、任意の元 a, b, c が G に属する場合、もし a ≤ b であれば c + a ≤ c + b となる性質を持っています。右順序群では、a ≤ b であれば a + c ≤ b + c となるとき、そして両側順序群は左順序群かつ右順序群の性質を同時に満たすものを指します。

このように、順序群の構造を理解することは、代数学における重要なテーマの一つです。

順序の持つ性質

順序群内の元 c が正であるとは、群の単位元に対して 0 ≤ c かつ c ≠ 0 となることを意味します。この場合の「0」は、群の特定の元を示しており、実数の 0 とは異なります。正の元全体を表す集合は、「G+」のように通常表記されます。興味深いのは、全順序群の任意の元 a に対し、a は「G+」に属するか、-a が属するか、または a が0であるという三者択一の性質を持つということです。

特に自明でない全順序群では、G+ は無限集合であり、従って非自明な全順序群は常に無限群であることが言えます。

絶対値と三角不等式

全順序群の元 a に対して、その絶対値は特定の条件に基づいて定義されます。すなわち、

$$ |a| = egin{cases} a, & ext{if } a ext{ is non-negative}, \ -a, & ext{otherwise} \\ ext{
}$$

この定義によれば、群がアーベル群である場合、追加的に三角不等式

$$ |a+b| ext{ ≤ } |a| + |b| $$

が常に成立します。これは、全順序群の元の組み合わせがどのように振る舞うのかを理解するための基本的な特性です。

例と応用

全順序群には多くの例が存在します。例えば、全順序群はねじれのない群であることが知られています。逆に、Leviが示したように、アーベル群が全順序を持つための十分条件は、ねじれのないアーベル群であるとされています。また、オットー・ヘルダーはアルキメデス群が実数の加法群の部分群と同型であることを示しました。

この理論の深さを理解することは、より広範な数学的体系の構築に寄与しています。全順序群の性質は、代数学だけでなく、数理論理やトポロジーとも密接に関連しています。

結論

全順序群は、数学における重要なテーマのひとつであり、その理解は群論のさらなる発展に不可欠です。本稿では、全順序群の基本的な定義、分類、性質、そして具体例を通して、その魅力を探求しました。今後の研究においても、その多くの性質が新しい発見に導くことでしょう。

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