八十一角形

八十一角形

八十一角形は、81本の辺と81個の頂点を持つ多角形です。多角形の種類は辺の数によって分類され、八十一角形はその辺の数が81であることを示しています。

八十一角形の特徴

辺の数: 81本
頂点の数: 81個
内角の和: 14220°
内角の和は、(n-2) × 180°という公式で計算できます。(nは辺の数) 八十一角形の場合、(81-2) × 180° = 14220° となります。
対角線の本数: 3240本
対角線の本数は、n(n-3)/2という公式で計算できます。八十一角形の場合、81(81-3)/2 = 3240本となります。

正八十一角形

全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい八十一角形を正八十一角形といいます。

中心角: 4.444…° (360° ÷ 81)
外角: 4.444…° (中心角と同じ)
* 内角: 175.555…° (180° - 中心角)

面積

一辺の長さをaとすると、正八十一角形の面積Sは次の式で表されます。

S = (81/4)a² cot(π/81)

ここで、cotは余接を表します。この式は、正多角形の面積を求める一般的な公式を適用したものです。

作図

正八十一角形は、定規とコンパスのみを用いた作図が不可能です。これは、81が2のべき乗と異なる素数の積で表せないためです。作図可能性は、辺の数の素因数分解に依存します。正多角形が定規とコンパスで作図可能であるための必要十分条件は、辺の数が2のべき乗と異なるフェルマー素数の積で表されることです。81 = 3⁴であるため、定規とコンパスで作図することはできません。

しかし、折り紙を用いると正八十一角形を作図することができます。折り紙による作図は、幾何学的な操作を巧みに組み合わせることで、定規とコンパスでは不可能な作図を可能にする方法です。

cos(2π/81) の表現

cos(2π/81) は、平方根と立方根を用いて表現することができます。しかし、その表現には三次方程式を3回解く必要があり、非常に複雑な計算になります。

例えば、以下のような式で表すことができますが、非常に複雑です。

cos(2π/81) = cos(2π/(3・27)) = (³√(³√(³√ω)) + ³√(³√(³√ω²)))/2

ここで、ω = (-1 + √3i)/2 は、1の三乗根の一つです。この式は、幾何学的考察と代数的計算を組み合わせることで導き出されます。

まとめ

八十一角形は、辺の数が多い複雑な多角形です。正八十一角形は定規とコンパスでは作図できませんが、折り紙を用いることで作図が可能です。その面積や内角、中心角などの性質は、数学的な公式を用いて計算することができます。

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