六十八角形

六十八角形

六十八角形は、68本の辺と68個の頂点を持つ多角形です。複雑な形状ですが、幾何学的には興味深い性質を持っています。この記事では、六十八角形、特に正六十八角形について、その性質や計算方法、作図可能性などを詳しく解説します。

六十八角形の性質

六十八角形の内角の和は、多角形の内角の和を求める公式を用いて計算できます。n角形の内角の和は(n-2)×180°なので、六十八角形の場合は(68-2)×180° = 11880°となります。また、頂点から引ける対角線の数は、n角形の場合n(n-3)/2本なので、六十八角形では68(68-3)/2 = 2210本となります。

正六十八角形

正六十八角形は、全ての辺の長さと内角が等しい六十八角形です。正六十八角形の中心角は360°/68° ≈ 5.294°、外角も同様に約5.294°となります。内角は180° - 5.294° ≈ 174.705°です。

面積

一辺の長さをaとすると、正六十八角形の面積Sは次の公式で求められます。

S = (68/4)a²cot(π/68)

この式を計算すると、S ≈ 367.70439a² となります。この公式は、正多角形の面積を求める一般公式から導き出されます。正n角形の一辺の長さがaのとき、面積は(n/4)a²cot(π/n)で表されます。

作図

正六十八角形は、定規とコンパスを用いて作図可能な図形です。これは、68が2²×17と素因数分解され、素因数にフェルマー素数以外の素数が含まれていないためです。正多角形の作図可能性は、その辺の数の素因数分解に依存します。

余弦の値

正六十八角形の中心角の余弦値cos(2π/68)は、有理数と平方根の組み合わせで表すことができます。具体的な計算式は複雑ですが、以下のようになります。

cos(2π/68) = cos(π/34) = (1/2)√(2 + (1/8)(1 - √17 + √(34 - √68) + √(68 + √2448 + √(2720 + √6284288))))

この式からも、正六十八角形が高度な幾何学的な性質を持っていることがわかります。

関連図形

六十八角形と関連する図形としては、その辺の数から派生する図形が挙げられます。例えば、17角形（十七角形）や34角形（三十四角形）などは、六十八角形と密接な関係を持つ図形です。これらの図形も、幾何学的に興味深い性質を持っています。

まとめ

六十八角形、特に正六十八角形は、その複雑な形状にも関わらず、数学的に興味深い性質を持つ図形です。内角の和、面積、作図可能性、そして余弦値の計算などを通して、幾何学の世界の奥深さを垣間見ることができます。この解説が、六十八角形への理解を深める一助となれば幸いです。

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