六角数

六角数とは

六角数（ろっかくすう）とは、正六角形の形に点を配置した際に得られる自然数のことです。具体的には、これらの点の総数を表し、その数列は無限に存在しますが、その中でも最も小さいのは1です。六角数は、「4で割ると1余る」整数の累積と定義することも可能です。

六角数の計算

n番目の六角数をHnと表します。次の式が成り立っています。

• - H1 = 1
• - Hn+1 = Hn + 4n + 1

この式により、一般的な六角数は次のように表すことができます：

$$
H_n = H_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(4k+1) = n(2n-1)\ (n \geq 2)
$$

これは、nが1の時にも成り立ちます。六角数を小さい順に並べると、以下のような数字が得られます：

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, …

六角数と三角数

興味深いことに、n番目の六角数は2n−1番目、つまり奇数番目の三角数と等しくなります。したがって、すべての六角数は三角数でもあります。また、偶数の完全数もすべて奇数番目の三角数であり、これが示すのは、既知の完全数はすべて六角数でもあるということです。この偶数の六角数は以下のように表現されます：

$$
6, 28, 66, 120, 190, 276, 378, 496, 630, 780, 946,…
$$

六角数の性質

六角数は1を除く全ての数が合成数であることも特筆すべき点です。また、全ての自然数は最大でも6つの六角数の和で表せることが知られています。ただし、1791よりも大きな自然数は4つの六角数の和で表現でき、さらに大きい自然数は3つの六角数の和で表せます。特に6つの六角数が必要な例として、11と26があります。

• - 11 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6
• - 26 = 1 + 1 + 6 + 6 + 6 + 6

六角数の逆数の総和

六角数の逆数総和は次の数式で表され、自然対数を用いた表現が含まれています：

$$
\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k(2k-1)}}\ = 2 \ln 2 \approx 1.386294…
$$

このように、六角数は多くの数学的性質を持ち、数理において興味深い対象となります。興味を持たれた方は、これらの性質や例にさらに深く触れてみることをお勧めします。

参考リンク

文献でのさらなる学習や数学に関する情報は、次のリソースを利用しましょう：MathWorldの六角数のページ。

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