共線

共線性（きょうせんせい）

共線性とは、初等幾何学の分野で用いられる概念であり、複数の点が全て同一の直線上にあるという性質を指します。このような性質を持つ点の集まりは「共線である」と言われます。この用語は幾何学に限定されず、より広く何かが一列や一行に並んでいる状態を表す際にも使われることがあります。

幾何学における共線性

様々な幾何学体系において、共線性は特定の線上に位置する点の集合を指します。ユークリッド幾何学においては、点が一つの「直線」の上に並んでいる状態として直感的に捉えられます。しかし、多くの幾何学（ユークリッド幾何学も含まれます）では、直線自体が定義における基本的な要素として与えられるため、このような視覚的なイメージが常に適切であるとは限りません。

幾何学の数学モデルは、点や直線といった基本的な要素が互いにどのような関係性を持つかを規定しており、共線性のような概念はそのモデルの枠組みの中で解釈される必要があります。例えば、球面幾何学においては、標準的なモデルでは「直線」は球面上における大円として解釈されます。この場合、共線である点の集合は同一の大円の上に存在することになりますが、これはユークリッド幾何学的な意味での「直線」上にある、あるいは一直線に並んでいるという感覚とは異なります。

共線変換

ある幾何学的な空間において、直線を別の直線に移すような写像は「共線変換」（または共線写像）と呼ばれます。共線変換は、点の共線性という性質を保つ特性を持っています。例えば、ベクトル空間における線型写像（線型変換）は、幾何学的に見ると直線を直線に写します。したがって、線型写像は共線である点の集合を変換した後も共線な点の集合にするため、共線変換の一種と言えます。射影幾何学における射影変換（ホモグラフィ）もまた、共線変換の一種です。

共線性の判定方法

点の集合が共線であるかどうかを判定するには、いくつかの方法があります。

解析幾何学による判定

座標が与えられている場合、解析幾何学の手法を用いて共線性を判定できます。n次元空間内の3つ以上の異なる点が共線であるための必要十分条件は、それらの点の座標ベクトルを並べて作った行列の階数が1以下になることです。あるいは、点の座標と1を要素として含む行列の階数が2以下であることとも同等です。

特に平面（n=2）においては、3点の座標 (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) が共線である必要十分条件は、以下の3x3行列の行列式がゼロになることです。




この行列式は、3点を頂点とする三角形の面積の2倍（符号付き）に等しいため、3点が共線であることと、その3点を頂点とする三角形の面積がゼロであることは同じ意味になります。

距離による判定

点の間の距離が分かっている場合にも、共線性を判定できます。3つ以上の異なる点からなる集合が共線であるための必要十分条件は、その集合から任意に選んだ3点A, B, Cに対して、以下のケイリー–メンガー行列式がゼロになることです。




ここで d(AB) は点Aと点Bの間の距離を示します。この行列式の値は、3辺の長さが d(AB), d(BC), d(AC) である三角形の面積の平方の-16倍に等しく、これもまた三角形の面積がゼロになることと同義です。

別の距離による判定方法として、3点A, B, Cを選んだ際に、最も長い距離が他の二つの距離の和に等しくなる、という条件があります。例えば、d(AC) が d(AB) と d(BC) のどちらと比べても小さくない（つまり d(AC) ≥ d(AB) かつ d(AC) ≥ d(BC)）と仮定できる場合、3点が共線であるための必要十分条件は、三角不等式 d(AC) ≤ d(AB) + d(BC) において等号が成立すること、すなわち d(AC) = d(AB) + d(BC) となることです。

共点性との関係

平面幾何学における「点」と「直線」の役割を、両者の間の接続関係を保ったまま入れ替える概念を「平面の双対性」と呼びます。この双対性によって、共線な点の集合という概念は、一点を共有する直線の集合という概念に対応します。複数の直線が一点で交わるという性質は「共点性」（きょうてんせい、concurrency）と呼ばれ、そのような直線は「共点である」と言われます。したがって、共点性は、平面の双対性の観点から見た共線性の双対概念であると言えます。

共線性は、幾何学の基本的な概念であり、様々な定理や問題（パップスの六角形定理、デザルグの定理、メネラウスの定理など）に関わっています。

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