凸最適化

凸最適化とは

凸最適化とは、最適化問題の一分野であり、特に凸集合上で定義された凸関数の最小化問題を扱うものです。この分野は、数学、工学、経済学など、幅広い分野で応用されています。凸最適化問題の重要な特徴は、局所的な最小値が大域的な最小値と一致することであり、これにより、効率的な最適化アルゴリズムの開発が可能になります。

凸最適化問題の定義

実ベクトル空間 X 上の実数値凸関数 f: X → R が、X の凸部分集合 X 上で定義されているとします。このとき、凸最適化問題とは、関数 f(x) の最小値を与える X 上の点 x を見つける問題です。

具体的には、以下の条件を満たす点 x を求めます。


f(x) ≤ f(x) for all x ∈ X


この問題を数学的に記述すると、次のようになります。


f(x) = min{f(x) : x ∈ X}


ここで、X ⊂ R^n は実現可能集合であり、f(x): R^n → R は目的関数です。

X が閉凸集合であり、R^n 上で f(x) が凸関数である場合、この問題を凸最適化問題と呼びます。

凸最適化問題の表現

実際の問題では、X は具体的な形で表現されることが多く、例えば、与えられた凸関数 g_i(x) (i=1,…,m) を用いて、以下のように連立不等式を満たす集合として定義されることがあります。


X := {x ∈ R^n : g_i(x) ≤ 0, i = 1,…,m}


この場合、凸最適化問題は以下のように表現できます。


minimize f(x)
subject to g_i(x) ≤ 0, i = 1,…,m


ここで、関数 f, g_1,…,g_m: R^n → R は凸関数です。

凸最適化の理論

凸最適化問題において、以下の命題が成り立ちます。

極小値が存在すれば、それは大域的最小値である。
すべての（大域的）最小値の集合は凸である。
強凸関数であり、かつ関数が最小値を持つ場合、最小値は一意に決まる。

また、凸最適化は、ヒルベルト射影理論、分離超平面理論、Farkasの補題などの関数解析とも密接に関連しています。

凸最適化問題の標準形

凸最適化問題は、以下の3つの部分からなる標準形で表現されることが一般的です。

1. 凸関数 f(x) : R^n → R を最小化する。
2. 不等式制約 g_i(x) ≤ 0 (g_i は凸関数) を満たす。
3. 等式制約 h_j(x) = 0 (h_j はアフィン関数) を満たす。

実際には、等式制約は線形制約やアフィン制約として表現されることが多いです。

これらの制約を用いて、凸最適化問題は以下のように表すことができます。


minimize f(x)
subject to g_i(x) ≤ 0, i = 1,…,m
h_j(x) = 0, j = 1,…,p.


等式制約 h(x) = 0 は、2つの不等式制約 h(x) ≤ 0 と -h(x) ≤ 0 で置き換えることができますが、実際には等式制約の形で表現した方が便利な場合があります。

凸最適化の例

凸最適化問題の例としては、以下のようなものがあります。

最小二乗法
線形計画問題
線形制約付き凸2次計画
2次制約付き2次計画問題
錐線形計画問題
幾何計画問題
2次錐計画問題
半正定値計画問題
エントロピー最大化

これらの問題は、変数変換などによって凸最適化問題として定式化することができます。

ラグランジュの未定乗数法

標準形で表された凸最小化問題を解くための重要なツールとして、ラグランジュの未定乗数法があります。コスト関数を f(x)、不等式制約を g_i(x) ≤ 0 (i=1…m) とした場合、ラグランジュ関数は以下のように定義されます。


L(x, λ0,...,λm) = λ0f(x) + λ1g1(x) + ... + λmgm(x).


このとき、適切なラグランジュ係数 λ0, ..., λm が存在し、以下の条件を満たします。

x は L(y, λ0, λ1, ..., λm) を最小化する。
λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, ..., λm ≥ 0 で、少なくとも一つは λk > 0
λ1g1(x) = 0, ..., λmgm(x) = 0 (相補スラック性)

凸最適化問題の解法

凸最適化問題を解くための一般的な手法としては、以下のようなものがあります。

内点法
バンドル法
射影劣勾配法
切除平面法
楕円体法
劣勾配法
ドリフトプラスペナルティー法

特に、劣勾配法は実装が容易で、様々な問題に適用可能です。

凸最適化の難しさ

凸最適化問題の中には、効率的な解法を見つけるのが難しいクラスの問題も存在します。これらの問題では、多くの関数や劣勾配の評価が必要となり、精確な最小値を求めるのに時間がかかる場合があります。このような問題に対しては、自己調和障壁関数などの手法を用いることで、効率的な解法を見つける試みがなされています。

準凸最小化

凸のレベル集合を持つ問題は、準凸最小化問題として効率的に解くことができる場合があります。準凸計画問題は、凸計画問題と同様に、問題の次元に対して多項式時間で解くことが可能です。ただし、理論的に効率的な手法であっても、実際には収束が遅い場合があるため、注意が必要です。

凸関数の拡張

凸関数は、正無限を含むように拡張することができます。例えば、指標関数は、x ∈ X を満たす領域では 0 をとり、それ以外では正無限をとるように定義されます。また、擬似凸関数や準凸関数を含むように凸関数を拡張することで、非凸最小化問題へのアプローチを試みることもできます。

まとめ

凸最適化は、様々な分野で広く応用される重要な最適化手法です。その理論的な背景や様々な解法、拡張に関する知識を習得することで、より複雑な最適化問題に取り組むことができるようになります。

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