分裂補題

分裂補題の概要

数学の分野、特にホモロジー代数学において、分裂補題は非常に重要な役割を果たします。これは、アーベル圏における短完全列に関連した性質を表すものであり、通常、特定の写像の存在に依存しています。この分裂補題は、以下の3つの異なる条件を満たすことにより、短完全列が分裂するかどうかを決定します。

短完全列の定義

短完全列とは以下の形をした列を指します。

```
0 → A ⟶ B ⟶ C → 0
```

この列は、AがBに射影され、BがCに射影される過程を示しています。ここで、A、B、Cは各々アーベル群（またはアーベル圏の対象）を表します。

分裂補題の条件

分裂補題において、次の三つの条件が同値であることが示されます。

1. 左分裂 (left split)
- 写像 t: B → A が存在し、t 3 q が A の恒等写像となります。

2. 右分裂 (right split)
- 写像 u: C → B が存在し、r 3 u が C の恒等写像となります。

3. 直和 (direct sum)
- B は A と C の直和に同型であり、q は A への自然な入射、r は C への自然な射影であることが求められます。

このように、短完全列は上記のどれかの条件が成立すれば分裂すると言えます。ただし、注意が必要な点として、すべての短完全列が必ずしも分裂するわけではありません。

第一同型定理との関係

分裂補題は、第一同型定理を精密化するための基盤ともなります。第一同型定理は、与えられた短完全列において次のように表現されます。

```
C ≅ B / q(A)
```

ここで、Cはrの余像、またはqの余核に同型であると考えることができます。分裂が確認できれば、Bは次のように表現できるため、第一同型定理が成り立ちます。

```
B ≅ q(A) ⊕ u(C) ≅ A ⊕ C
```

この関係は、線型代数学における基底の定理と本質的に同じ性質を示しています。

証明の概要

分裂補題の証明は、条件3から条件1及び2が成り立つことを示すことから始まります。直和を仮定し、自然な写像を使ってAとCの間の関係を示します。具体的には、Bの元がどのようにしてAとCの元から形成されるかを詳しく論理的に説明していきます。

さらに、条件1及び2から条件3への逆の証明も示されており、これもまた分裂補題の成立を支える要素となっています。

その他の考察

分裂補題は、群の圏においては必ずしも成立しないことが知られており、特に非可換群での短完全列の取り扱いには注意が必要です。このように、アーベル圏における特異性が全体の理論においていかに重要かを認識することが肝要です。

また、非アーベル群などの例を引き合いに出し、分裂補題を適用する場合の逆の状況についての洞察も重要です。

参考文献

• - Saunders Mac Lane: Homology. Reprint of the 1975 edition, Springer Classics in Mathematics.
• - Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press.

もう一度検索