群の圏

群の圏 Grp

数学の抽象代数学における重要な構造である群は、圏論においても特別な位置を占めています。群の圏Grp（ぐんのけん、英: category of groups）とは、すべての群を対象として含む類のことであり、対象である群と群の間を結ぶ射として群準同型を採用する圏のことを指します。この定義から、Grpは対象が具体的な構造を持つ集合であり、射がその構造を保つ写像である具体圏の一種となります。広範な研究分野である群論は、この群の圏Grpの構造や性質を探求するものと見なすことも可能です。

他の圏との関連性

群の圏Grpは、他の基本的な圏とさまざまな関係を持っています。例えば、すべての集合とその間の写像からなる集合の圏Setや、すべてのモノイドとその間のモノイド準同型からなるモノイドの圏Monとの間には、対象の構造の一部を「忘れる」という操作に対応する函手が存在します。

GrpからMonへの忘却函手Mは、群が持つ可逆元であるという構造を無視して、その群をモノイドと見なすものです。また、GrpからSetへの忘却函手Uは、群という代数構造そのものから、その台となる集合だけを取り出す函手です。

これらの忘却函手には、「随伴函手」と呼ばれる特別な関係を持つ函手が対応しています。M: Grp → Monという函手には、二つの随伴函手が存在します。一つは右随伴函手I: Mon → Grpで、これは任意のモノイドに対し、その中の可逆元全体がなす部分群を対応させます。もう一つは左随伴函手K: Mon → Grpで、これは任意のモノイドから、いわゆるグロタンディーク群と呼ばれる群を構成する函手です。

もう一つの忘却函手U: Grp → Setに対しては、その左随伴函手として、任意の集合Sから、その集合を生成系とする自由群を構成する函手、すなわち自由函手が存在します。これはSetからMonへの自由モノイド構成函手Fと、モノイドからグロタンディーク群を構成する函手Kの合成函手KF: Set → Mon → Grpとしても表現できます。

圏論的な性質

群の圏Grpにおける射の性質は、群準同型の性質と密接に対応しています。圏論における単型射（モノ射）は、群準同型における単射準同型に一致します。同様に、圏論における全型射（エピ射）は全射準同型に、同型射は全単射な群準同型（双射準同型）にそれぞれ対応します。

Grpは、圏論的な極限と余極限が常に存在する「完備かつ余完備」な圏です。特に、Grpにおける圏論的直積は、代数的な群の直積そのものとして実現されます。一方、圏論的直和は、群の直和ではなく、群の自由積として与えられます。これは、アーベル群の圏Abにおける直和が圏論的直和と一致するのとは異なる点であり、注意が必要です。Grpにおける零対象（終対象かつ始対象）は、単位元のみからなる自明な群 {1} です。

任意の群準同型f: G → Hに対して、Grpでは圏論的な核が常に存在し、これは通常の代数学的な核ker f = {x ∈ G | f(x) = e}と一致します。また、圏論的な余核も存在し、これは準同型の像f(H)の終域Hにおける正規包でHを割った剰余群H / 正規包(f(H))として与えられます。アーベル群の圏Abとは異なり、Grpでは任意の射fが、その余核の核（ker(coker f)）と一致することは一般には期待できません。

非アーベル性

群の圏Grpは、アーベル群の圏Abを充満部分圏として含みますが、Grp自身はアーベル圏ではありません。アーベル圏であるためには、射の間に自然な「和」の概念が定義でき、加法圏である必要がありますが、Grpではそのような和は一般に定義できません。このため、Grpは加法圏ですらなく、非アーベル圏に分類されます。

具体的な例として、三次対称群S₃からS₃自身への群準同型全体の集合を考えます。もしGrpが加法圏であれば、この集合は環構造を持つはずですが、実際にはそうなりません。これは、射の和が自然に定義できないことの現れです。

完全系列

Grpにおいては、代数的な完全系列の概念を圏論的に定式化することが可能であり、意味を持ちます。アーベル圏論で導かれるいくつかの重要な結果、例えば9項補題や5項補題といった特定の図式補題は、群の圏Grpにおいてもそのまま成立します。しかし、アーベル圏論における強力な道具である蛇の補題は、Grpにおいては一般には成立しません。このことは、Grpがアーベル圏ではないことの一つの帰結とも言えます。

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