余像

代数学における準同型写像の余像

代数学において、準同型写像の余像は重要な概念です。ある代数系Aから代数系Bへの準同型写像f: A → B を考えます。このとき、fの余像(coimage)は、定義域Aとその核(kernel)の商集合A/ker fとして定義されます。ここで、核ker fとは、fによって単位元に写像されるAの元全体の集合です。

より具体的に説明しましょう。例えば、群準同型写像の場合、核は正規部分群となり、商群A/ker fを構成することができます。この商群が、まさにfの余像となります。同様に、環準同型写像の場合も、核はイデアルとなり、商環A/ker fが余像となります。

第一同型定理との関係

代数系において第一同型定理が成り立つ場合、非常に重要な性質が得られます。第一同型定理は、準同型写像fの余像coim fと像im f が同型であることを主張しています。つまり、coim f ≃ im fという自然同型が存在します。この同型写像は、fによって誘導される写像と密接に関連しています。

この同型性により、準同型写像の性質を、その余像と像の視点から分析することが可能になります。余像は定義域の情報、像は値域の情報とそれぞれ密接に関連しており、それらを比較検討することで、準同型写像の構造をより深く理解することができます。

圏論における余像

圏論では、より抽象的な形で余像が定義されます。射f: X → Yの余像とは、全射c: X → Cであって、以下の条件を満たすものを言います。

1. f = fcπcとなるような射fc: C → Yが存在する。ここでπcは自然な射影です。
2. 全射z: X → Zであってf = fz zとなるような任意の射fz: Z → Yに対して、c = πzとfz = fcπとなるような唯一つの射π: Z → Cが存在する。

この定義は、代数学における余像の定義を一般化したものであり、様々な圏において余像を考えることができます。この圏論的な定義を用いることで、より広い範囲の数学的対象に対して余像の概念を適用することができます。

関連概念

余像と密接に関連する概念として、商対象、余核などが挙げられます。商対象は、部分対象の双対概念であり、余像は商対象の一種と見なすことができます。余核は、余像と双対的な概念であり、余像と同様に準同型写像の性質を理解する上で重要な役割を果たします。

まとめ

本稿では、代数学および圏論における準同型写像の余像について解説しました。余像は、定義域と核の商集合として定義され、第一同型定理を通して像との間の重要な関係が明らかになります。圏論的な定義は、より抽象的で広範な数学的対象への適用を可能にします。これらの概念は、代数学や圏論の理解を深める上で不可欠な要素です。より深い理解のためには、関連文献を参照することをお勧めします。

参考文献

Mitchell, Barry (1965), Theory of categories, Pure and applied mathematics 17, ISBN 978-0-124-99250-4

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