切り捨て可能素数

左切り捨て可能素数について

左切り捨て可能素数（left-truncatable prime）とは、数自体が素数であり、さらにその数から左の桁をひとつずつ取り除いた場合も全て素数である数のことを指します。この特性を持つ素数は、全ての桁が0でないことも条件に含まれています。例えば、数値4632647を考えると、これが左切り捨て可能素数である理由は、4632647自体が素数であり、また632647、32647、2647、647、47、7も全て素数だからです。このようにして、どんな桁を取り除いても素数であり続ける特別な数が左切り捨て可能素数です。

左切り捨て可能素数の列挙

小さい順に左切り捨て可能素数を並べると、2, 3, 5, 7, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97, 113, 137, 167, 173, 197, 223, 283, 313などとなります。これらの数は、オンライン整数列大辞典の数列A024785で確認できます。また、左切り捨て可能素数は有限であり、特に1桁の素数は2, 3, 5, 7の4つのみで、2桁ではこれらに数字を加えたものが候補になります。計算機を使うことで小さい桁数から素数を簡単に列挙でき、その中で最も桁数の多いものは24桁の355406313264216567629137です。

このような左切り捨て可能素数は、桁ごとに個数が異なり、具体的には1桁のものが4個、2桁が11個、3桁が39個、そして最も大きい16桁まで加えると4260個の素数が存在するとされています。これを詳しく見ると、各桁ごとの詳細な個数は、4, 11, 39, 99, 192, 326, 429, 521, 545, 517, 448, 354, 276, 212, 117, 72, 42, 24, 13, 6, 5, 4, 3, 1となります。

右切り捨て可能素数

左切り捨て可能素数に加えて、右切り捨て可能素数も存在します。右切り捨て可能素数は、数自体が素数であることに加え、右から数字を切り捨てた場合も全てが素数である数です。例えば、73839133を例にすると、この数と7393913、739391、73939、7393、739、73、7も全て素数です。これを考慮すると、小さい順で示すと2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73などが挙げられ、最大の数は8桁の73939133です。

このように右切り捨て可能素数の個数も桁ごとに異なっており、合計で83個が特定されています。

切り捨て可能素数の総合

両者の切り捨て可能素数を総合すると、左、右両方で切り捨て可能な素数は2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 313, 317, 373, 797, 3137, 3797, 739397の15個が該当します。つまり、この条件を満たす素数は非常に限られています。これらは数字の特性上、特定の形だけが残るためです。

さまざまな記数法

左切り捨て可能素数というコンセプトは十進法だけに限らず、任意の基数に対しても考えられます。例えば、四進法において最大の左切り捨て可能素数である333323（十進法では4091）は、自身及び切り捨た数が全て素数です。多様な基数においても、切り捨て可能素数が存在することが示されています。各基数における左切り捨て可能素数の個数は異なり、その最大値も様々です。

以上が左切り捨て可能素数に関する概要です。この独特な数の特性は、素数の理解を深めるための興味深いテーマとなっています。

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