切稜立方体

切稜立方体：立方体の変容と多様な側面

切稜立方体（せつりょうりっぽうたい、chamfered cube）は、立方体の各辺を平行な平面で切り落とした、魅力的な幾何学的立体です。この操作、すなわち切稜によって、立方体の鋭い角が滑らかになり、新たな多面体が生み出されます。辺を切る深さや角度を変えることで、多様な形状の切稜立方体が得られるため、数学、結晶学、芸術など、様々な分野で研究や応用がなされています。

切稜の深さと形状

切稜の深さが立方体の辺の中点に達する場合、最も深い切稜となり、このとき得られる多面体は菱形十二面体と呼ばれます。一方、それより浅い切稜では、18面体の切頂菱形十二面体（tetratruncated rhombic dodecahedron）のような形状となります。この多面体は、菱形十二面体の頂点を切り落としたような形をしています。切稜の角度も形状に影響を与え、約31.7度の切稜角では正十二面体が生成されます。

数学的性質と構成

切稜立方体は、正方形6枚と平行六角形12枚から構成され、48本の辺と32個の頂点を持っています。頂点には2種類あり、24個の頂点は4つの六角形と2つの正方形に接し、残りの8個は6つの六角形に接しています。回転対称性も持ち、4回回転対称軸が3本、3回回転対称軸が4本、2回回転対称軸が6本存在します。その双対多面体は四方立方八面体です。切稜立方体の体積や、中心から面の中心までの距離といった計量も、切稜の深さ（正方形の一辺の長さd）を用いて数式で表現できます。

ゾーン多面体としての切稜立方体

切稜立方体はゾーン多面体の一種でもあります。渡辺泰成と別宮利昭の研究では、同一球面に内接する立方体と正八面体の頂点と重心を結ぶベクトルを用いて、等稜切稜立方体が構成され、それが7次元の立方体の三次元投影図形の外殻であることが示されました。さらに、正八面体のすべての頂点が立方体の辺上にくるように立方体を外接させると、4つの立方体の複合多面体ができます。その凸状の32個の頂点は、外接球を持つ切稜立方体を構成します。

結晶学における切稜立方体

ナノサイズの微細結晶の研究において、切稜立方体は重要な役割を果たしています。1960年代以降、体心立方格子(bcc)金属の微粒子が、立方体、切稜立方体、菱形十二面体といった様々な多面体形状をとることが明らかになりました。近年では、金属有機構造体ZIF-8において、切稜立方体の形状と大きさを自在に制御する技術も確立されています。蛍石などの鉱物結晶も、切稜立方体の形状を示すことがあります。結晶学では、正方形面を{100}面、六角形面を{110}面と表記しています。

切稜立方体の歴史と研究

切稜立方体は古くから存在し、紀元前5-6世紀の中国の盤上遊戯「六博」で使われたさいころが、切稜立方体の形状をしていたことがわかっています。2006年には、偶然に製作された18面体の名称が不明であったことから、「切稜立方体」という名称が提案されました。その後、数学者や研究者によってその性質が解明され、様々な論文や書籍で取り上げられるようになりました。Wikipedia英語版での記述にも紆余曲折があり、当初は他の操作と混同されていたものの、現在は明確に区別されています。

まとめ

切稜立方体は、単純な立方体から派生した多面体でありながら、その数学的性質、結晶学的意義、歴史的背景など、多様な側面を持っています。今後も、数学、結晶学、芸術など、様々な分野における研究や応用が期待されます。

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