ゾーン多面体

ゾーン多面体：平行な辺を持つ立体幾何学

ゾーン多面体とは、三次元の凸多面体の一種で、向かい合う辺がすべて平行という特徴を持つ立体です。この性質から、隣り合う面を辿っていくと立体を一周する帯（ゾーン）が形成され、これが名前の由来となっています。

ゾーン多面体の研究は、ロシアの結晶学者フェドロフの業績に端を発し、その後、コクセターらによって大きく発展しました。コクセターは、フェドロフの研究を基にゾーン多面体の理論体系を構築し、高次元幾何学との関連性も明らかにしました。

代表的なゾーン多面体

ゾーン多面体には、様々な種類が存在します。よく知られている例としては、以下のものが挙げられます。

正多面体から派生するもの: 立方体
半正多面体から派生するもの: 切頂八面体、斜方切頂立方八面体、斜方切頂二十・十二面体
* その他: 正2n角柱（底面が偶数多角形のもの）、切稜立方体、各種菱形多面体

渡辺泰成と別宮利昭は、正多面体や半正多面体、それらの複合多面体を基に、重心から頂点へのベクトルを用いて、16次元立方体の三次元投影図形を含む多くのゾーン多面体を構成しました。

平行多面体：空間充填可能なゾーン多面体

平行多面体とは、ゾーン多面体の中でも、単独で平行移動のみによる空間充填が可能な立体のことです。ロシアの結晶学者E.S.フェドロフが1885年に、平行多面体は次の5種類しかないことを証明しました。この証明は、1933年にドロネーによってより簡単な方法で再証明されています。また、コクセターはH.S.ホワイトの投影図法に基づいて、独自の証明を与えています。

1. 平行六面体
2. 平行六角柱
3. 菱形十二面体
4. 長菱形十二面体
5. 切頂八面体

黄金ゾーン多面体

表面が黄金比の菱形のみで構成される等面菱形多面体は、5種類存在します。コクセターはこれを黄金等稜ゾーン多面体と呼びました。これらの多面体も空間充填が可能で、その二次元投影図はペンローズ・タイルとして知られています。

1. 尖った菱形六面体
2. 平たい菱形六面体
3. 菱形十二面体第2種
4. 菱形二十面体
5. 菱形三十面体

第二黄金ゾーン多面体

第二黄金比(1:2.618)と白銀比(1:1.414)の菱形を持つ菱形多面体も存在し、その面の数(6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90)は、三次元から十次元までの立方体の三次元投影図形の外殻に対応しています。

ポーラーゾーン多面体

コクセターは、正多角柱を基に、菱形面のみから構成されるゾーン多面体をポーラーゾーン多面体と定義しました。この種類のゾーン多面体は、正n角柱の重心と頂点を結ぶベクトルを基に構成され、ホワイト・コクセターダイヤグラムを用いて表現することができます。さらに、極を多角形面に置き換えることで、プリズムゾーン多面体と呼ばれる別の種類のゾーン多面体が得られます。

ゾーン多面体と高次元立方体

ゾーン多面体は、高次元立方体を三次元空間に投影した図形の外殻と一致することがあります。コクセターの『正多胞体』では、この関係が詳しく解説されています。また、コクセターは、ゾーン多面体のゾーンの数を数えるための効率的な方法を示しました。ホワイトとコクセターのダイヤグラムを用いることで、ゾーン多面体の種類を体系的に分類することができます。

ゾーン多面体は、その幾何学的性質、空間充填可能性、そして高次元幾何学との深い繋がりから、数学、結晶学、そして芸術分野においても注目を集める魅力的な研究対象となっています。

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