剰余加群

剰余加群と商加群の紹介

抽象代数学において、加群とその部分加群との関係は非常に重要な概念です。特に、これらから派生する剰余加群（商加群）について理解することは、加群の構造を深く掘り下げるための基本となります。この文章では、剰余加群の定義とその具体的な例について詳しく説明します。

剰余加群の定義

まず、環 R 上の加群 A とその部分加群 B が与えられた場合に、商空間 A/B は以下の同値関係で定義されます。特定の元 a および b に対して、

• - a ~ b ⇔ b − a は B の元。

この関係から、A/B の元は同値類として表され、[a] = { a + b : b ∈ B } という形で表現されます。ここで、この同値類に対する加法の演算は、2つの同値類の代表元の和によって定義されます。具体的には、

• - [a] + [b] = [a + b] という性質が成り立ちます。

さらに、R の元による積についても同様の操作が可能です。このようにして、A/B は再び R 上の加群となり、剰余加群あるいは商加群と呼ばれます。記号で表すと、すべての a, b ∈ A 及び r ∈ R に対して、

• - r·[a] = [r·a] という関係が成り立ちます。

具体例

次に、具体的な例として実数環 R と R-加群 A = R[X]、つまり実係数の多項式環を考えてみましょう。この場合、A の部分加群 B を次のように定義します。

• - B = (X^2 + 1) R[X]

これは、X^2 + 1 で割り切れるすべての多項式からなる部分加群です。この加群によって生じる同値関係は以下のようになります。

• - P(X) ~ Q(X) ⇔ P(X) と Q(X) は X^2 + 1 で割ったときの余りが同じである。

この定義から、剰余加群 A/B では X^2 + 1 が 0 と同じ扱いになることが分かります。そのため、A/B を R[X] から X^2 + 1 = 0 とすることで、新たな視点が得られます。この剰余加群は、実数上の加群として複素数全体と同型であることが確認できます。

まとめ

剰余加群の構成は、加群の理解を一層深めてくれる重要な要素です。特に、商加群という視点を取り入れることで、数学的な構造を簡潔に捉えることが可能になります。これにより、抽象代数学のより高度な理論を学ぶ準備が整うことでしょう。

関連項目

• - 商群

本稿を通じて、加群と部分加群の関係、及びそれらから派生する商加群の概念がしっかりと理解できれば幸いです。

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