劉徽

劉徽 (りゅう き)

三国時代、魏の時代に活躍した偉大な数学者、劉徽（生没年不詳）。その出自は前漢の皇族につながるとも伝えられ、青州斉国般陽県（現在の山東省淄博市）の出身とされる。若い頃には首都洛陽で日影測定に関わった可能性も指摘されており、祖沖之（そちゅうし）と並び称される古代中国屈指の数学者として名を残している。

彼の数学における最大の功績は、紀元前後の成立とされる古代中国の代表的な数学書『九章算術』に対する注釈本の作成である。263年に完成したこの注釈書は、『九章算術』に記された複雑な数学問題とその解法原理を詳細に解説し、後世の数学研究に不可欠なものとなった。

劉徽は、具体的な値を計算することなく平方根を正確に表現する方法を探求した先駆者の一人である。彼は計算結果を十進分数で示す方法を用いたが、これは後の数学者である楊輝が完全な十進表現を用いる以前の重要な段階であった。

また、劉徽の注釈書には、驚くべきことに古代ギリシャの数学者ピュタゴラスが発見したとされる三平方の定理（ピタゴラスの定理）と全く同じ内容が記されている。劉徽はこの定理を図解し、「この図は斜辺と他の二辺の和と差の関係を示しており、三辺のうち二辺が分かれば、残りの一辺を求めることができる」と解説している。

平面図形だけでなく、立体図形についても劉徽は優れた洞察を示した。例えば、楔形の図形を四角錐と三角錐に分解して体積を計算する方法を明らかにした。さらに、底辺が台形で側面が傾斜した複雑な楔形も、四角錐と二つの三角錐に分割して扱うことができることを示した。これは経験に基づいた立体幾何学における大きな貢献であった。

円周率の計算も劉徽の重要な業績の一つである。『九章算術』第1章の注釈の中で、彼は円に内接する多角形を用いて円周率を求めるアルゴリズムを示した。192辺の多角形を用いた計算から、円周率が3.141024より大きく3.142074より小さいという正確な評価を得た。これは、外接・内接両方の多角形を用いたアルキメデスの評価よりもわずかに精密であった。しかし、彼は3.142074はやや大きいと考え、3.141024の最初の三桁を採用して「約3.14」を円周率の近似値「徽率」とし、分数では 157/50 と表した。さらに彼は、より効率的な円周率の計算アルゴリズムを考案し、3.1416という値を得た。この値を3072辺の多角形を用いて検証し、その精度に満足したとされる。なお、『九章算術』自体は円周率を3として計算していたが、先行する張衡は√10を近似値として用いていた。

また、劉徽は円柱の体積計算に、現代でいうカヴァリエリの原理に類する方法を用いたことでも知られる。

彼の注釈書は通常、特定の計算方法が有効である理由とそうでない理由を論理的に説明しているが、一部に誤りも含まれており、後の唐代の数学者である李淳風によって訂正されている。

『九章算術』には、運河や堤防建設に関する実用的な問題も含まれており、劉徽はこれらの建設に必要な資材、労働力、時間を算出する方法についても詳細な注釈を加えている。

『九章算術』注釈の補遺として、劉徽は『海島算経』を著した。これは測量に関する問題を専門に扱い、実用的な幾何学の応用例を数多く示している。仏塔の高さや遠方の都市の壁の大きさ、峡谷の深さ、河口の幅などを、測量棒を用いて測定する方法が具体的に解説されている。

『海島算経』で扱われた具体的な測量問題の例をいくつか挙げる。

海上から島の頂上の海面からの高さを測定
丘の上に立つ木の高さを測定
遠く離れた場所から都市の城壁の大きさを測定
峡谷の深さを測定
丘の上から下の平原にある塔の高さを測定
離れた地点からの河口の幅を測定
底まで見える透明な水の貯水池の深さを測定
丘の上から川幅を測定
* 山の上から都市の大きさを測定

劉徽の測量技術に関する知識は、同時代の知識人にも広く知られていた。政治家であり地図製作者でもあった裴秀は、当時の製図や測量の方法を概説する中で、地形図上に正確な位置を示すために格子状の座標を用いる方法に言及しており、これは劉徽の測量術とも関連が深いと考えられる。

劉徽の業績は、古代中国の数学と測量技術の発展に不可欠な基礎を築いたものであり、その影響は後世に長く続いた。

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