半ノルム

半ノルムとは

半ノルムは、ベクトル空間という数学的な構造の上で定義される特別な関数です。これは距離や「大きさ」といった概念を抽象化したものであるノルムと非常によく似ていますが、一つ重要な違いがあります。それは、零ベクトルではない要素に対しても、関数の値がゼロになる可能性があるという点です。ノルムの場合は、零ベクトル以外では必ず値がゼロより大きくなります。

定義される性質

ノルム体（実数や複素数など、絶対値が定義された体のこと）上のベクトル空間 V において、V から非負の実数への写像 p が半ノルムであるとは、以下の二つの性質を満たすことを言います。

1. 絶対斉次性（または絶対一様性）: 任意のベクトル x と任意のスカラー λ に対して、`p(λx) = |λ| p(x)` が成り立ちます。これは、ベクトルをスカラー倍したときの関数の値が、スカラーの絶対値倍になるという性質です。
2. 劣加法性（または三角不等式）: 任意のベクトル x, y に対して、`p(x + y) ≤ p(x) + p(y)` が成り立ちます。これは、二つのベクトルの和に対する関数の値が、それぞれのベクトルに対する値の和以下になるという性質で、距離における三角不等式に対応します。

これらの二つの性質を持つ写像 p を備えたベクトル空間 (V, p) を半ノルム空間と呼びます。

半ノルムの基本的な性質

上記の定義から、いくつかの重要な性質が導かれます。

非負性: 半ノルムの値は常に非負です。
零ベクトルの値: 零ベクトルの半ノルムは必ずゼロです。
反転対称性: ベクトルの符号を反転しても半ノルムの値は変わりません（`p(-x) = p(x)`）。
逆向き三角不等式: `|p(x) - p(y)| ≤ p(x - y)` が成り立ちます。
劣線型性と凸性: 半ノルムは劣線型関数であり、また凸関数でもあります。逆に、絶対斉次性と凸性を満たす関数は半ノルムとなります。

最も特徴的な性質は、先述の通り、非零ベクトル x であっても p(x) = 0 となりうる点です。

具体的な例

様々な種類の半ノルムが存在します。

任意のノルム: ノルムは半ノルムの条件に加え、非零ベクトルに対して値がゼロにならないという条件を満たすため、全てのノルムは半ノルムの一種です。
零関数: 全てのベクトルに対して常に値 0 を返す関数 p(v) = 0 は半ノルムです。
線型関数の絶対値: 実数または複素数値をとる線型関数 f に対し、その絶対値 `|f(x)|` は半ノルムとなります。
内積から誘導されるもの: 正定値実対称双線型形式（または複素半双線型形式）を持つ空間において、`p(x) = √(x, x)` は半ノルムです。
コンパクト集合上の上限: 位相空間上の連続関数の空間において、コンパクト部分集合 K 上での関数の絶対値の上限 `sup_{x∈K} |f(x)|` は半ノルムとなります。

関連する概念

半ノルムは、数学の他の重要な概念とも深く関連しています。

商ノルム空間: 半ノルム p の値がゼロになるベクトル全体の集合は、元のベクトル空間の部分空間をなします。この部分空間で元の空間を割った商空間において、元の半ノルムから誘導されるノルムを定義することができます。この構成は、関数解析学における重要な空間（例えばLp空間）を構築する際などに利用されます。
* 局所凸空間: 複数の半ノルムの「族」を用いることで、ベクトル空間に位相（点の近さを定義する構造）を与えることができます。このように定義される位相線型空間を局所凸空間と呼びます。特に、半ノルム族が十分多くのベクトルを区別できる（分離的であると呼ばれる）場合、その空間はハウスドルフ空間という良い位相的性質を持ちます。

このように、半ノルムはノルムの概念を拡張し、商空間の構成や局所凸空間の定義を通じて、現代数学の様々な分野で重要な役割を果たしています。

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