周長

周長について

周長とは、単純な閉曲線における始点から終点までの長さを示します。この概念は周囲、すなわちペリメーターを意味し、英語では 'perimeter' と呼ばれることがあります。ただし、英語の 'perimeter' は周囲と周長の双方を指す用語です。

多角形の周長

多角形の周長は、各辺の長さを合算したものとして定義されます。たとえば、一辺の長さが a の正 n 角形の場合、その周長は na という簡単な計算で求めることができます。同じ周長を持つ二つの正 n 角形は、合同であることが明らかです。

円の周長

円の周長（c）は、直径（d）と円周率（π）を用いて、次の式で表されます：

$$
c = πd
$$
また、半径（r）を用いる場合は、次の式が使われます：

$$
c = 2πr
$$
すべての円は相似形であるため、周長が同じ二つの円の面積（S）も等しいです。面積は周長を用いて次のように表すことが可能です：

$$
S = \frac{rc}{2}
$$

扇形の周長

半径が r、中心角が θ（ラジアン）である扇形の周長（l）は、以下の式で表されます：

$$
l = rθ + 2r = r(θ + 2)
$$
この式により、扇形の周長を容易に計算することができます。

楕円の周長

楕円の周長（l）は、長軸と短軸の長さ（2aおよび2b）のみで決まりますが、周長を計算するためには第二種完全楕円積分が必要です。このようにして、周長は次のように表されます：

$$
l = 4a \int_0^{\frac{π}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2 t} dt
$$
ここで、kは次のように定義されます：
$$
k = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}
$$
このため、楕円の周長は比較的複雑な計算が必要となります。

その他の閉曲線の周長

さまざまな特殊な曲線に対して、周長も異なる方法で計算されます。たとえば、アステロイド（星芒形）の周長は 6a で、カージオイド（心臓形）の周長は 8a です。フラクタル図形の場合、有限の面積を持っていても、その周長は無限大になることがあります。
一般に閉曲線の周長を計算する際には、積分記号 $$ \oint_C $$ を用いた積分が行われます。

周長