単体 (数学)

数学、特に幾何学の分野において、「単体（simplex）」とは、特定の条件を満たす点の集まりから定義される基本的な図形です。これは、私たちがよく知る点（0次元）、線分（1次元）、三角形（2次元）、四面体（3次元）などを、任意の高い次元へと一般化した概念と言えます。

具体的には、n次元空間において、n+1個の点が「一般の位置にある」とき、これらの点を頂点として囲まれる最も小さな凸図形、すなわち点の「凸包」として定義されます。ここでいう「一般の位置にある」とは、どのk+1個の点を選んでも、k-1次元以下の超平面に同時に含まれないという条件を指し、点の位置が互いに「偏っていない」状態を数学的に表現したものです。この定義は、点をアフィン独立であると捉えることと同等です。

最も身近な単体の例を挙げると、0次元単体は一点、1次元単体は二点を結ぶ線分、2次元単体は三点を結ぶ三角形、3次元単体は四点を結ぶ四面体です。さらに高次元では、5つの頂点を持つ4次元の単体は五胞体と呼ばれます。

特別な種類の単体として、「正単体」があります。これは、全ての辺の長さが等しい単体を指します。例えば、正三角形や正四面体は正単体です。

単体は、その頂点の位置さえ決まれば、形と大きさが一意に定まります。単体の内部には、もとの単体の頂点集合から一部を選んで作られる、より低い次元の単体が含まれています。これらを単体の「面（face）」と呼びます。例えば、三角形の面には、その辺（1次元の面）や頂点（0次元の面）があります。最も次元の高い面で、もとの単体より一つ低い次元の面は「ファセット」と呼ばれます。単体の面全体の集まりは、頂点集合の全ての部分集合と一対一に対応しており、面の包含関係は頂点集合の包含関係と一致します。この階層構造は、単体が組合せ論的な対象として扱われる上での重要な性質です。特に、n次元単体が持つr次元の面の総数は、(n+1)個の頂点からr+1個を選ぶ組み合わせの数、すなわち (n+1)C(r+1) で与えられます。

n次元単体の「体積（あるいはn次元空間での容積、超体積）」は、その頂点の座標を用いて計算することができます。具体的には、頂点の位置ベクトルから構成される行列の行列式を用いて計算されることが知られています。例えば、原点を一つの頂点とするn次元単体の体積は、他のn個の頂点の位置ベクトルから作られるn×n行列の行列式の絶対値を n! で割った値となります。

位相幾何学などの分野では、特定の「標準単体」が基準として用いられます。これにはいくつかの定義がありますが、代表的なものとして、n+1個の座標の合計が1になるようなR^(n+1)内の点集合（重心座標による表示）や、R^n空間内で座標が単調増加する点の集まり（単位分割による表示）などがあります。これらは異なる空間に定義されますが、互いに位相同型、すなわち連続的に変形して重ね合わせることができるため、同じ位相的な性質を持つ図形として扱われます。しばしば、これらの標準単体は Δ^n や △^n の記号で表されます。

単体は単なる幾何学的な図形にとどまらず、より抽象的な概念の基盤となります。頂点とその部分集合によって定義される面の構造は、単体そのものを「頂点集合とそのべき集合族に包含関係の順序を入れたもの」として抽象的に捉えることを可能にします。この抽象化された視点は、「単体的複体」や「鎖複体」といった重要な数学的概念へと発展し、幾何学的な問題を組合せ論的あるいは代数的な手法を用いて研究するための強力な道具となります。このように、単体は多様な数学分野において基礎的な役割を果たしています。関連概念には、全ての辺が等しい「正単体」や、単体を集めて構成される空間である「複体」などがあります。

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