単純リー群

単純リー群と単純リー環

概念の定義

群論において、単純リー群は連結かつ非可換のリー群であり、非自明な連結正規部分群を持たないものとされます。一方、単純リー環は非可換なリー環で、イデアルが自分自身と零だけであることを特徴としています。この特性に基づいて、単純リー環の直和を半単純リー環と呼びます。

同値な定義

単純リー群に関する別の主要な定義は、リー対応からの導出です。具体的には、連結リー群が単純である場合、そのリー環自体も単純でなければなりません。しかし、単純リー群は離散的な正規部分群を持つ可能性があり、そのため、単純リー群としての定義は、抽象 algebra の単純性とは異なる点も存在します。

古典型リー群との関連

単純リー群は、球面幾何学や射影幾何学、さらにはフェリックス・クラインによるエルランゲンプログラムに関わる古典的なリー群を多く含んでいます。それらは幾何学的な視点から群論的な基盤を提供します。また、単純リー群の分類過程では、これらの幾何学に対応しない例外的なケースも浮かび上がります。これらの「例外群」は、数学や理論物理学における特異な事象や構成を説明する際に役立ちます。

公理的観点と応用

単純リー群の定義は公理的な観点から見ると十分でありますが、リーマンの対称空間の理論やその他のリー理論の応用においては、半単純や簡約リー群の方が有用であることが示されています。特に、すべての連結コンパクトリー群は簡約であり、これに伴う表現の研究が表現論の重要な分野となっています。

定義の変種

単純リー群の一般的な定義は正確ではなく、いくつかの異なる観点から変わることがあります。たとえば、通常は単純リー群は連結でなければならず、離散的な中心を持つことも許容されています。たとえば、SL(2, R)は位数2の中心を持ちながら単純リー群と見なされますが、いくつかの著者は中心が限られていることを要件としている事例もあります。

分類の方法

単純リー群の分類は、複素単純リー環の既知の分類法を基に行われます。このアプローチにより、単純リー群は複素化されることで、特定の単純リー環を保有することが分かります。一方、実形の差異や、リー環とリー群の成分に基づく構造との関係も重要です。これにより、リー群の基本群を計算することが、大域的なトポロジーに関する理解を深める上で欠かせない要素となります。

ディンキン図形による分類

ディンキンによる分類は、無限系列のグループや例外群の識別を可能にします。この論理展開において、ノード数に基づくさまざまな系列や関連する群が定義されます。たとえば、A系列やB系列などがあり、それぞれ異なる特性を持つ群に対応します。

例外的な群

「例外群」と呼ばれるG2、F4、E6、E7、E8といった群も多くの数学的考察の対象です。これらの群は他の無限系列には当てはまらないため特異な存在と見なされており、それぞれ独自の特徴を持っています。

まとめ

単純リー群と単純リー環は数学的な理論の基礎を提供する重要な構成要素です。その範囲は広く、幾何学・物理学・代数などの多岐にわたる分野と密接に関連しています。

参考文献

• - カルタン行列
• - コクセター行列
• - ワイル群
• - コクセター群
• - カッツ・ムーディ代数
• - カタストロフィー理論

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