内接図形

内接（ないせつ）

幾何学の分野において、「内接する」という状態は、ある図形や立体が、それよりも大きな別の図形や立体の内部に隙間なく収まっている様子を表します。これは、内側の図形（または立体）を外側の図形（または立体）が「包絡する」とも表現でき、ちょうど外側の図形が内側の図形に「外接する」という関係と対になっています。

内接の具体的な定義は、関連する図形の種類によって少し異なります。

円や楕円が凸多角形（または球面や楕円体が凸多面体）に内接する場合: このとき、内側の図形は外側の図形のすべての辺（または面）にちょうど接します。
多角形（または多面体）が円や楕円（または球面や楕円面）に内接する場合: この場合、内側の多角形や多面体のすべての頂点が、外側の図形（円周や球面上など）上に位置します。特に、外側の図形が多角形や多面体の場合は、内接する多角形や多面体の頂点は、外側の図形の辺上に必ずなければなりません。

内接する図形の向きは、一般的には一つに定まりません。例えば、円に内接する図形は、円の中心を軸に回転させても元の図形と合同な内接図形が得られることからも、このことは容易に理解できます。

関連する用語と図形

内接に関連するよく知られた概念や用語がいくつかあります。

内接円（incircle）: ある多角形に内接する円を指します。この円を持つ多角形を円外接多角形（tangential polygon）と呼びます。
外接円（circumcircle）: ある多角形のすべての頂点を通る円を指します。この円に内接する多角形を円内接多角形（cyclic polygon）と呼びます。
内接半径（inradius）: 内接円や内接球が存在する場合、その半径を指します。これは、外側の図形に対して「内接半径」または「充填半径」と呼ばれることもあります。

内接の性質

様々な図形や立体の組み合わせにおいて、内接に関する興味深い性質が見られます。

三角形と円: 任意の角度を持つ（合計180度の）三角形は、常に何らかの円に内接する三角形として存在し得ます。そして、任意の三角形は必ず外接円を持ちます。逆に、任意の三角形は内接円をただ一つ持ちます。また、任意の円は、任意の辺数n（n≥3）の正n角形を内接図形として持ち、任意の正多角形は外接円を持ちます。
多角形と円: 三角形や正多角形は内接円と外接円を持つことが保証されていますが、辺の数が4つ以上の一般的な多角形では、必ずしも内接円や外接円を持つわけではありません。内接円を持つ多角形は円外接多角形、外接円を持つ多角形は円内接多角形と呼ばれ、特別な分類となります。
三角形と楕円: 任意の三角形は、その重心を中心とし、各辺の中点で接するような特別な楕円（シュタイナー内接楕円）をはじめ、無限に存在する内接楕円を持ちます。また、任意の三角形を包むように内接する（三角形の頂点をすべて通る）楕円も存在し、これはシュタイナー外接楕円と呼ばれます。
三角形と正方形: 鋭角三角形は3種類の異なる内接正方形を持ちます。直角三角形の場合、そのうち2種類が一致するため2種類となり、鈍角三角形は1種類の内接正方形しか持ちません。
定幅曲線と正方形: ルーローの三角形のような定幅曲線は、自身の幅と等しい辺長を持つ正方形の中に、どんな向きでもぴったりと内接させることができます。

一般化とその他の用例

ここで述べた内接の定義は、主に二次元平面や三次元空間におけるユークリッド幾何学に基づいています。しかし、この概念は高次元のユークリッド空間や他の種類の距離空間へも容易に拡張して考えることができます。

また、特殊な用例として、「テープリッツの内接正方形問題」のように、凸図形に限らず、より一般的な図形に対して、その図形上（境界または内部）に4つの頂点を持つような正方形（内接正方形）の存在を問う問題も存在します。

このように、「内接」という概念は、図形や立体同士の位置関係を表す基本的ながらも多様な側面を持つ重要な幾何学的概念です。

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