全射

全射（Surjection）とは

数学において、写像が全射的（ぜんしゃてき、英: surjective, onto）であるとは、その終域（余域）となる集合のすべての要素が、その写像の像として得られることを意味します。つまり、集合Xから集合Yへの写像fがあるとき、Yのどの要素yに対しても、f(x) = yとなるようなXの要素xが少なくとも一つ存在する場合、写像fは全射であると定義されます。全写像とも呼ばれます。

この概念は、20世紀にフランスの数学者グループ、ブルバキによって導入されました。接頭辞"sur-"はフランス語で「上の」を意味し、写像の始域が終域全体を覆い尽くすように写像されるイメージを表しています。

定義

写像 f: A → B について、f の値域 f(A) ≔ {f(a) | a ∈ A} が終域（余域）B を含む（つまり B ⊆ f(A)）ならば、写像 f: A → B は 全射 (surjection) であると言います。f は余域 B への全射的 (surjective) な写像である、B の上への (onto) 写像であるなどとも表現します。記号で表すと、f: A → B が全射であるとは、任意の b ∈ B に対して、ある a ∈ A が存在し、f(a) = b が成り立つことを意味します。

このとき、しばしば`f: A ↠ B`と表記します。

例

1. 実数の自乗写像

実数xに対して、その自乗x²を対応させる写像f: R → R+ (R+は非負実数全体) は全射です。任意の非負実数yに対して、√yをとればf(√y) = yとなります。しかし、終域を単なる実数全体Rとした場合、この写像は全射ではありません。

2. 恒等写像
任意の集合X上の恒等写像idX: X → X (x ↦ x) は全射です。

3. デカルト積の射影
デカルト積A × Bの各成分への射影pA: A × B → A ((a, b) ↦ a) およびpB: A × B → B ((a, b) ↦ b) は全射です。

4. 二次多項式から実数への写像

実2次多項式全体R2[x] = {ax² + bx + c | (a, b, c) ∈ (R \ {0}) × R × R} から実数への写像D(ax² + bx + c) = b² - 4ac は全射です。任意の実数rに対して、例えば x² - r/4 を対応させることができます。

5. 行列式写像
正の整数nに対して、n次正方行列全体Mn(R)から実数への写像det(A) は全射です。

6. 指数関数

指数関数exp: R → (0, ∞) (x ↦ ex) は全射です。任意の正の実数yに対して、x := log yとすれば、exp(x) = yとなります。

7. 複素数から実数への写像

複素数に対してその実部、虚部、絶対値を対応させる写像はそれぞれ全射です。

性質

全射と双射

写像が双射（全単射）であることは、その写像が単射かつ全射であることと同値です。

グラフからの読み取り
写像の全射性は、そのグラフだけからは読み取れません。全射性は写像と終域の関係性で決まります。

右可逆性
写像g: Y → Xが写像f: X → Yの右逆写像であるとは、f(g(y)) = yがYのすべての要素yについて成り立つことをいいます。右逆写像を持つ任意の写像は全射です。逆も成り立ちますが、それには選択公理が必要になります。

全射と部分[[集合]]
f: X → Y が全射で、B が Y の部分[[集合]]であるとき、f(f⁻¹(B)) = B が成立します。

全型射との関係

写像 f: X → Y が全射である必要十分条件は、f が右消約的であること、つまり、g₁ ∘ f = g₂ ∘ f ならば常に g₁ = g₂ が成り立つことです。この性質は、圏論における全型射（エピ射）の概念に一般化されます。全射は集合の圏における全型射そのものです。

二項関係としての全射

全射は、左全域的、右一意かつ右全域的な二項関係として捉えることができます。

全射の始域の濃度

全射 f: X → Y が存在する場合、始域Xの濃度は余域Yの濃度以上です。つまり、|Y| ≤ |X| が成り立ちます。

合成と分解
全射同士の合成は常に全射です。
任意の写像は、全射と単射の合成として分解できます。

誘導された全射・双射
任意の写像はその終域を値域にまで制限することにより全射を誘導します。
任意の全射は、同じ値に写るような定義域の元を同一視した商集合上の全単射を誘導します。

数え上げ

有限[[集合]] X から Y への全射の数は、第二種スターリング数を用いて計算できます。

関連概念

単射：異なる要素が異なる要素に対応する写像
全単射：単射かつ全射である写像
同値関係：集合の要素間の関係性を表す概念
中への写像：写像の値域が終域全体とは限らない写像

この解説が、全射の理解に役立つことを願っています。

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