台形公式

数学における台形公式（だいけいこうしき、英: trapezoidal rule）は、定積分を数値的に近似計算するための基本的な手法の一つです。これは、広範な数値積分法の中でも特に単純な部類に入り、ニュートン・コーツの公式において関数を一次（線形）で近似した場合に相当します。

原理と基本的な考え方

定積分 `∫[a, b] f(x) dx` は、x-y座標平面において、関数 `y = f(x)` のグラフとx軸、そして直線 `x = a` および `x = b` で囲まれた図形の面積に等しいと解釈できます。台形公式では、この面積を近似するために、曲線 `y = f(x)` を直線で置き換えます。

最も単純なケースとして、区間 `[a, b]` 全体で関数 `f(x)` を、端点 `a` と `b` での値 `f(a)` と `f(b)` を結ぶ直線で近似することを考えます。この直線とx軸、`x = a`、`x = b` で囲まれる図形は台形になります。この台形の面積は、上底 `f(b)`、下底 `f(a)`、高さ `(b - a)` と考えて計算でき、その面積は `(b - a) × (f(a) + f(b)) / 2` となります。これが、単一の区間における台形公式の基本的な形です。

しかし、一般に関数 `f(x)` が直線から大きくかけ離れている場合、この近似の精度はあまり高くありません。

複合台形公式

より高い精度で定積分を近似するためには、積分区間 `[a, b]` を複数の小さな部分区間に分割し、それぞれの部分区間で台形公式を適用し、得られた面積を合計する方法が採られます。これを複合台形公式と呼びます。

具体的には、区間 `[a, b]` を `n` 個の部分区間に分けます。分割点を `a = a0 < a1 < ... < an = b` とすると、元の定積分は各部分区間 `[ak-1, ak]` での積分の合計 `∑[k=1 to n] ∫[ak-1, ak] f(x) dx` となります。それぞれの区間 `[ak-1, ak]` に対して台形公式を適用すると、`∫[ak-1, ak] f(x) dx` はおよそ `(ak - ak-1) × (f(ak-1) + f(ak)) / 2` と近似されます。

したがって、複合台形公式による全体の近似値は、これらの和 `∑[k=1 to n] (ak - ak-1) × (f(ak-1) + f(ak)) / 2` となります。

等間隔な分割の場合

特に、分割点を等間隔に取ることがよくあります。区間幅を `h = (b - a) / n` とし、分割点を `ak = a + k h` (k = 0, 1, ..., n) とすると、複合台形公式はより単純な形にまとまります。

この場合、各部分区間の幅 `(ak - ak-1)` は全て `h` に等しくなります。したがって、近似値は `∑[k=1 to n] h × (f(ak-1) + f(ak)) / 2` となり、`h/2` をΣの外に出すことができます。`h/2 × ∑[k=1 to n] (f(ak-1) + f(ak))` を展開すると、`f(a0)` と `f(an)` は一度だけ現れますが、それ以外の内側の点 `f(a1), ..., f(an-1)` は二つの隣接する区間で共有されるため、それぞれ二度ずつ現れます。

このことから、等間隔な分割における複合台形公式は、`h/2 × [f(a0) + 2f(a1) + 2f(a2) + ... + 2f(an-1) + f(an)]` という形で表現されます。ここで、`a0=a`、`an=b`、`h=(b-a)/n` です。

特徴と精度

台形公式の利点は、その概念が直感的で分かりやすく、計算手続きが非常に単純であることです。プログラムとして実装することも容易です。

一方で、関数を一次関数で近似するため、一般的にはより高次の近似（例えば二次関数で近似するシンプソンの公式など）を用いる手法に比べて精度は劣ります。ただし、関数がほぼ直線に近い場合や、細かく変動しない関数に対しては、台形公式でも十分な精度が得られることがあります。

また、台形公式は周期関数をその周期よりも長い区間で積分する際に、高い精度を示すことが知られています。これはオイラー・マクローリンの公式との関係で説明されます。

誤差と補正

台形公式による近似には誤差が伴います。関数が凸形状の区間では近似値は実際の積分値より小さく、凹形状の区間では大きくなる傾向があります。ただし、積分区間に変曲点が含まれる場合、これらの誤差が部分的に相殺され、全体的な誤差が小さくなることがあります。

誤差を減らすためには、区間分割数 `n` を増やして部分区間をより細かくする方法が一般的です。また、より進んだ方法として、被積分関数の端点における高階導関数値を利用するオイラー・マクローリンの公式や、これを差分商で置き換えたグレゴリーの公式を用いて、台形公式による結果を補正する手法も存在します。

非周期関数に対しては、等間隔ではない分割点を用いるガウス求積のような手法の方が、一般に高い精度を達成することが多いです。しかし、ある種の関数変換と組み合わせた二重指数関数型数値積分公式では、台形公式が応用され非常に高い精度が得られる例も知られています。

まとめ

台形公式は、定積分を数値的に計算するための最も基本的で理解しやすい手法の一つです。単純な原理に基づき計算が容易である反面、関数によっては精度に限度があることも理解しておく必要があります。必要とされる精度に応じて、区間分割数を増やしたり、より高度な数値積分法や誤差補正手法と組み合わせて利用されます。数値解析の分野において、その後の発展的な手法の基礎となる重要な公式と言えます。

参考文献：
Burden, Richard L.; J. Douglas Faires (2000). Numerical Analysis (7th Ed.). Brooks/Cole.

関連事項：
数値積分
シンプソンの公式
ニュートン・コーツの公式
オイラー・マクローリンの公式
ガウス求積
二重指数関数型数値積分公式

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