変曲点

変曲点（Inflection Point）

変曲点とは、連続な平面曲線において、その曲線の凹（上に凸）の向きから凸（下に凸）の向きへ、あるいはその逆へと曲線の形状が変化する特徴的な点です。これは、別の言い方をすれば、その点において曲線の曲率が符号を変える点に相当します。

微分可能な関数における定義と特徴

関数 f(x) のグラフ上の点 (x₀, f(x₀)) が変曲点であるかどうかは、関数の微分を用いて調べることができます。

*1階導関数 f'(x) との関係
点 x₀ において関数 f のグラフが変曲点を持つための必要十分条件の一つとして、1階導関数 f'(x) が x₀ において孤立した極値を持つことが挙げられます。ここで「孤立した」とは、x₀ の近くで、f'(x) が極大値または極小値をとる点が x₀ 以外に存在しないという意味です。これは関数 f 自身が x₀ で極値をとることを意味するわけではない点に注意が必要です。

*2階導関数 f''(x) との関係
関数 f が2回微分可能である場合、変曲点はそのグラフ上の点で、2階導関数 f''(x) が x₀ に孤立した零点を持ち、かつその点の前後で f''(x) の符号が変わるような点として特徴づけられます。例えば、x < x₀ で f''(x) > 0（下に凸）、x > x₀ で f''(x) < 0（上に凸）のように変化する場合、x₀ は変曲点となります。もし f''(x₀) = 0 であっても、その前後で f''(x) の符号が変わらない場合は、変曲点ではなく起伏点と呼ばれることがあります。

変曲点であるための条件

必要条件
関数 f が点 x₀ において2階微分可能であり、かつ x₀ が変曲点であるならば、必ず f''(x₀) = 0 が成り立ちます。しかし、これは変曲点を持つための十分条件ではありません。f''(x₀) = 0 であっても変曲点にならない例（例えば y = x⁴ の x=0）も存在します。

十分条件
f''(x₀) = 0 かつ、x₀ の前後で f''(x) の符号が変化する場合、x₀ は変曲点です。より一般的には、点 x₀ において f''(x₀) = f'''(x₀) = ... = f⁽ᵏ⁻¹⁾(x₀) = 0 となり、かつ最低階数の非零高階微分係数 f⁽ᵏ⁾(x₀) が存在する際に、その階数 k が奇数であれば、x₀ は変曲点となります（この場合、k は3以上の奇数である必要があります）。

他の曲線における変曲点

代数曲線
代数曲線においては、非特異点が変曲点であるための必要十分条件は、その点における接線と曲線との交わりの重複度が3以上の奇数となることです。重複度が4以上の偶数となる場合は、起伏点や超変曲点と呼ばれることがあります。

媒介変数表示された曲線
曲線が媒介変数表示で与えられている場合も、変曲点はその点で曲率が符号を変える点として定義されます。

変曲点の分類

変曲点は、その点における接線の傾き（1階導関数の値）によって分類されることがあります。

停留変曲点 (Stationary Inflection Point)
変曲点において f'(x₀) = 0 となる点を停留変曲点と呼びます。この点では接線が水平になります。例えば、関数 y = x³ のグラフにおける点 (0, 0) は停留変曲点です。原点における接線はx軸であり、グラフはこの点で接線の両側に分かれます。

非停留変曲点 (Non-stationary Inflection Point)
変曲点において f'(x₀) ≠ 0 となる点を非停留変曲点と呼びます。この点では接線は水平ではありません。例えば、関数 y = x³ + ax （a ≠ 0）のグラフにおける点 (0, 0) は非停留変曲点です。原点における接線 y = ax は水平ではなく、グラフはこの点で接線の両側に分かれます。

また、1階導関数 f'(x) が変曲点 x₀ で極小値をとる場合を下降変曲点、極大値をとる場合を上昇変曲点と呼ぶこともあります。

注意点

すべての曲線が変曲点を持つわけではありません。特に、不連続な関数や定義域に穴がある関数は、変曲点を持たずに凹凸が変化することがあります。例えば、関数 y = 1/x は負の領域で上に凸、正の領域で下に凸ですが、x=0* は定義域に含まれないため変曲点は存在しません。

変曲点は、関数のグラフの形状を詳しく調べる上で非常に重要な概念であり、極値や漸近線と並んで、関数の振る舞いを理解するための鍵となります。

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