同伴行列

フロベニウスの同伴行列とは

フロベニウスの同伴行列、あるいはコンパニオン行列は、線型代数学において非常に重要な役割を果たしています。この行列は、特定のn次のモニック多項式に基づいて定義され、主に多項式の性質を行列形式で表現するために用いられます。

定義

モニック多項式とは、最も高い次数の項の係数が1である多項式のことを指します。一般に、n次モニック多項式p(t)は次のように表されます。

$$
p(t) = c_0 + c_1 t + rac{...}{ ext{...}} + c_{n-1} t^{n-1} + t^n
$$

この多項式に関連するフロベニウスの同伴行列C(p)は、次の形で表されます。

$$
C(p) = egin{bmatrix} -c_0 & 1 & 0 & ... & 0 \
0 & -c_1 & 1 & ... & 0 \
... & ... & ... & ... & ... \
0 & 0 & 0 & ... & 1 & -c_{n-1} \
ext{0} & ext{0} & ext{0} & ... & ext{-}c_{n-1}
ext{0}
ext{0}
ext{0}
ext{0}
ext{1}
ext{1}
ext{1}
ext{1}
ext{1}
ext{1}
ext{1}
ext{1}
ext{1}
ext{1}
ext{1}
ext{1}
ext{1}

egin{array}{c} V&\C(p)+1 ext{.}
$$

この行列は、特に基底がどのように巡回するかに関連し、C(p)が基底を循環させる特性を持ちます。

特徴

フロベニウスの同伴行列は、モニック多項式pに対する固有多項式と最小多項式が一致することによって特徴付けられます。この性質により、モニック多項式pは行列C(p)に対して同伴的であるとされます。行列Aが適当な体Kの元からなるn次行列の場合、次の条件が全て同値であることが知られています：

1. Aはその固有多項式の同伴行列にK上で相似です。
2. Aの固有多項式と最小多項式が一致します。
3. 最小多項式の次数がnです。
4. ベクトルvが存在し、Kn = spanK{v, Av, ..., An-1v}となります。
5. K[A]-加群としてVが巡回的である（V = K[A]/(p(A))）。

行列の相似性

すべての正方行列Aが同伴行列に相似であるわけではありませんが、いくつかの複数の同伴行列C(p1), ..., C(pm)の直和が相似となる場合があります。モニック多項式の並びp1, ..., pmは、その後に続く多項式を割り切るように選択することが可能であり、Aによって唯一に決定されます。この過程で得られる構造はAの有理標準形と呼ばれ、代数的な閉体上における行列のジョルダン標準形に似ています。

対角化可能性

特に、n次モニック多項式pがn個の異なる根を持つ場合、同伴行列C(p)は対角化が可能であり、対角行列はこれらの根に対応する固有値を持つことになります。

線型漸化式における利用

また、与えられた線型回帰数列の固有多項式がやはりモニック多項式であることが多く、この場合、同伴行列は数列の項を一つ進めるための操作をすることができます。この構造により、固有多項式の根が関連するベクトルが固有ベクトルとして扱われることがあります。

参考文献

フロベニウスの同伴行列は、代数や線型代数の講義や文献で頻繁に取り上げられ、さらなる応用や理論展開が期待されています。

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