有理標準形

有理標準形：行列の相似性を判定する強力なツール

線形代数学において、正方行列の相似性を判定することは重要な課題です。行列AとBが相似であるとは、ある正則行列Pが存在して、`B = P⁻¹AP` と表せることを意味します。この判定に役立つ強力なツールとして「有理標準形」があります。本記事では、有理標準形（フロベニウス標準形とも呼ばれます）の定義、その背後にある理論、そして具体的な計算方法について解説します。

有理標準形とは？

有理標準形とは、体F上の正方行列に対して定義される標準形の一種です。任意の正方行列は、体F上での相似変換によって一意的に有理標準形に変換できます。この標準形は、行列の相似性を判定するために非常に有効です。なぜなら、二つの行列が相似であるための必要十分条件は、それらの有理標準形が一致することだからです。

有理標準形とジョルダン標準形の違い

よく似た標準形としてジョルダン標準形がありますが、有理標準形とジョルダン標準形はいくつかの重要な点で異なります。

多項式の分解の必要性: ジョルダン標準形を求めるには、行列の固有多項式を因数分解する必要があります。しかし、有理標準形は多項式の因数分解を必要としません。このため、係数体が代数閉体でない場合でも、有理標準形は計算可能です。

係数体の拡大: ジョルダン標準形は、係数体の拡大が必要になる場合があります。一方、有理標準形は、元の係数体の上で計算できます。

* 計算の容易さ: 一般的に、有理標準形の計算はジョルダン標準形よりも容易です。

有理標準形の理論的背景

有理標準形の理論的基盤は、線形変換の巡回部分空間への分解にあります。ベクトル空間V上の線形変換αは、Vを巡回部分空間の直和に分解できます。各巡回部分空間は、あるベクトルvとその線形変換による像`α(v), α²(v), ...`によって生成されます。

この巡回部分空間への分解において、各部分空間へのαの作用は、最小多項式によって特徴づけられます。この最小多項式は、その巡回部分空間を生成するベクトルの選び方によらず一意に定まります。

有理標準形は、これらの巡回部分空間におけるαの表現行列を、特定の方法でブロック対角行列として並べたものです。このブロック対角行列の対角ブロックは、各巡回部分空間におけるαの同伴行列であり、その最小多項式によって一意的に決定されます。

有理標準形の計算アルゴリズム

有理標準形を求めるアルゴリズムは、いくつかのステップから構成されます。

1. 行列の最小多項式を求める: まず、行列Aの最小多項式を求めます。最小多項式は、行列Aを零行列にする最小次数のモニック多項式です。

2. 最小多項式を単因子に分解する: 次に、最小多項式を単因子に分解します。単因子は、互いに素な多項式の積として表すことができます。

3. 同伴行列を計算する: 各単因子に対して、その同伴行列を計算します。同伴行列は、単因子の係数から構成されます。

4. 同伴行列をブロック対角行列に配置する: 最後に、各単因子の同伴行列をブロック対角行列に配置することで、有理標準形を得ます。

これらのステップは、効率的なアルゴリズムによって自動化されており、計算機を用いて実行できます。計算の複雑度は、行列のサイズに対してO(n³ )程度とされています。

まとめ

有理標準形は、行列の相似性を判定するための強力なツールです。ジョルダン標準形と比較して、多項式の分解を必要とせず、係数体の拡大も必要としないため、より広い範囲の行列に対して適用できます。その理論的背景は、線形変換の巡回部分空間への分解に基づいており、計算アルゴリズムも確立されています。本記事で紹介した知識を応用することで、行列の相似性判定においてより効率的なアプローチが可能になります。

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