周波数スペクトル

周波数スペクトル：光、音、電磁波を解き明かす鍵

私たちの身の回りには、光、音、電磁波など、様々な波動現象が存在します。これらの現象は、それぞれ異なる周波数の成分が複雑に混ざり合って構成されています。周波数スペクトルとは、これらの波動現象を構成する各周波数成分の強さを表すグラフのことです。

例えば、太陽光は様々な色の光が混ざり合ったものです。プリズムを通すと、光は周波数によって異なる角度に屈折し、虹のような色の帯が現れます。この色の帯は、太陽光の周波数スペクトルを表しています。可視光線のすべての周波数成分の強さが均等であれば、光は白く見えます。

音も同様に、様々な周波数の成分の混合です。異なる周波数の音は、人間の耳には異なる音として聞こえます。特定の周波数の音だけが強調されると、それは何らかの音符の音として認識されます。雑音は一般的に、様々な周波数の音がランダムに混ざり合ったものです。全ての周波数成分の強さが均等な雑音を、光のスペクトルとのアナロジーから「ホワイトノイズ」と呼びます。この用語は、音声以外のスペクトルにも用いられます。

ラジオやテレビ放送は、それぞれ割り当てられた周波数の電磁波（チャンネル）を使用しています。受信機は、まずアンテナで様々な周波数の電磁波を受信し、その後チューナーで特定のチャンネルを選択して受信します。アンテナが受信した全ての周波数成分とその強さをグラフにしたものが、受信信号の周波数スペクトルとなります。

周波数スペクトルの種類

周波数スペクトルは、周波数に対してどのような情報を対応させるかによって、いくつかの種類に分類されます。

複素スペクトル: 各周波数成分に振幅と位相の2つの情報を対応させたスペクトルです。複素数は、振幅（絶対値）と位相（偏角）を使って表現できます。この2つの情報を組み合わせることで、元の信号を完全に再現できます。

振幅スペクトル: 各周波数成分に振幅のみを対応させたスペクトルです。位相の情報は無視されます。元の信号を完全に再現することはできませんが、人間の聴覚は振幅に敏感で位相には鈍感であるため、音声信号の分析などでは有用です。

位相スペクトル: 各周波数成分に位相のみを対応させたスペクトルです。波のコヒーレンス（干渉性）を議論する際に用いられます。

パワースペクトル: 各周波数成分に振幅の二乗を対応させたスペクトルです。周波数間隔を補正して密度関数にしたものはパワースペクトル密度と呼ばれ、信号のエネルギー分布を表します。ウィーナー＝ヒンチンの定理により、自己相関関数と密接に関連しています。

スペクトル解析

光、音、電磁波などの波動現象から、各周波数成分の強さを定量的に求める処理をスペクトル解析と呼びます。スペクトル解析は、信号の短時間領域や長時間領域、あるいは特定の関数に対して行うことができます。

多くの場合、フーリエ変換を用いてスペクトル解析が行われます。フーリエ変換は、時間領域の関数を周波数領域の関数に変換する手法です。逆フーリエ変換を用いることで、元の時間領域の関数に完全に復元できます。このためには、各周波数成分の振幅だけでなく、位相も保持する必要があります。そのため、各周波数成分は通常、複素数で表されます。図示する際は一般的に振幅のみを示し、スペクトル密度と呼ばれます。

フーリエ変換は、時間領域における線形操作を周波数領域でも容易に行うことを可能にします。例えば、時間領域で2つの波形を重ね合わせる操作は、周波数領域でも簡単に対応するスペクトルを重ね合わせることで実現できます。時間領域と周波数領域での操作の関係性を理解することは、信号処理において非常に重要です。例えば、スペクトル上に新しい周波数成分が出現するのは、非線形な操作を行った場合のみです。

ランダムな波形（ノイズ）のフーリエ変換の結果もまたランダムになります。周波数成分を明確化するためには、何らかの平均化処理が必要となります。例えば、時系列データを一定区間に分割し、各区間ごとにフーリエ変換を行い、振幅（または振幅の二乗）の平均を計算する手法が一般的です。結果が平坦な線になった場合、それはホワイトノイズです。

物理学におけるスペクトル解析

物理学では、関数のフーリエ変換やフーリエ級数をスペクトル解析と呼びます。確率過程に対しては、スペクトル密度（ウィーナー＝ヒンチンの定理より、自己相関関数のフーリエ変換と等しい）を求めることをスペクトル解析と呼びます。これらの手法は、複雑な現象を、基本的な単一振動数成分に分解することにより、現象のメカニズムを解明する上で重要な役割を果たします。

例えば、光波のスペクトル密度は、その光のスペクトルそのものです。スペクトル解析は、様々な物理現象の理解に欠かせない強力なツールです。

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