回転楕円体

回転楕円体：地[[球]]の形と幾何学

回転楕円体とは、楕円をその長軸または短軸の周りに回転させることで生じる三次元形状です。言い換えれば、3つの半径のうち2つが等しい楕円体と定義できます。この形状は、地[[球]]の形を近似するために非常に重要であり、この文脈では「地[[球]]楕円体」と呼ばれます。様々な地[[球]]楕円体が存在し、それぞれの測地系は特定の地[[球]]楕円体、すなわち「準拠楕円体」を基準としています。

回転楕円体の種類と特徴

回転楕円体の重要な特徴は、その半径です。3径のうち等しい2つの半径を「赤道半径」、残りの1つの半径を「極半径」と呼びます。楕円を回転させる際に、回転軸となる半径が極半径、もう一方の半径が赤道半径となります。

赤道半径の方が長い回転楕円体は「扁球」(oblate spheroid)または「扁平楕円体」と呼ばれ、地[[球]]のような形をしています。逆に、極半径の方が長い回転楕円体は「長球」(prolate spheroid)または「扁長楕円体」と呼ばれ、アメフトのボールのような形をしています。赤道半径と極半径が等しい特別な場合は、球となります。

回転楕円体の数学的性質

回転楕円体の性質を理解するために、赤道半径をa、極半径をbと表すのが一般的です。ただし、楕円の半径を表すa,bと混同しないように注意が必要です。

回転楕円体は、直交座標系を用いて数式で表現できます。回転楕円体の体積は、簡単に計算でき、以下の式で表されます。

V = (4/3)πa²b

表面積は、一般の楕円体よりも計算が容易で、積分を用いることなく求めることができます。ただし、扁球と長球では異なる公式が適用されます。

扁球の表面積：S = 2πa²(1 + (1-e²)^(1/2)/e arcsin(e))

長球の表面積：S = 2πa²(1 + (1-e²)/e ln((1+e)/(1-e)))

ここで、eは離心率で、長半径α = max(a, b)、短半径β = min(a, b)とすると、以下の式で表されます。

e = √(1 - (β²/α²))

回転楕円体に基づく座標系

回転楕円体は、様々な座標系の基盤として利用されます。代表的なものとして、以下のものがあります。

扁平楕円体座標系
扁長楕円体座標系
* 地理座標系（測地座標系）：地[[球]]楕円体を採用

これらの座標系は、地[[球]]上の位置を正確に特定したり、地[[球]]規模の現象をモデル化するために不可欠です。

まとめ

回転楕円体は、地[[球]]の形を近似するだけでなく、様々な科学技術分野において重要な役割を果たしています。その幾何学的性質と数学的表現を理解することは、測地学、地[[球]]物理学、宇宙科学など、幅広い分野における研究や応用に不可欠です。 このシンプルな形状の中に、複雑な数学と現実世界の応用のつながりが存在していると言えるでしょう。

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