離心率

離心率：円錐曲線の形状を表す指標

離心率とは、円錐曲線（円、楕円、放物線、双曲線）の形状を表す重要な数値です。この値は、曲線が真円からどれだけ離れているかを表す指標として機能します。離心率は0から無限大までの値を取り、真円の場合は0、直線に近づくにつれて無限大になります。

離心率の定義

円錐曲線は、焦点からの距離と準線からの距離の比が一定となる点の集合として定義されます。この一定の比が、まさに離心率 (e) です。図形上の任意の点Pについて、焦点Fからの距離をFP、準線Lからの距離をPP'とすると、以下の式で表されます。

e = FP / PP'

円は、楕円において準線を無限遠方においた極限と考えることができ、その場合の離心率は0となります。

離心率と二次曲線の種類

離心率の値によって、どのような二次曲線が描かれるかが決定されます。

e = 0: 真円
0 < e < 1: 楕円
e = 1: 放物線
1 < e: 双曲線

楕円の離心率

楕円の場合、長径を2a、短径を2bとすると、焦点間の距離は2√(a²-b²)となります。この関係を用いて、楕円の離心率は以下のように計算されます。

e = √((a²-b²)/a²) = √(1 - (b²/a²))

この式からわかるように、楕円が真円に近いほど（aとbの差が小さいほど）、離心率は0に近づきます。

楕円の扁平率(f)との関係も重要です。扁平率は、(a-b)/a = 1 - (b/a) と定義され、離心率の自乗(e²)とは以下の関係にあります。

e² = (a²-b²)/a² = f(2-f)

ここで、eは第一離心率と呼ばれます。他にも第二離心率(e')、第三離心率(e'')も用いられます。

e' = √((a²-b²)/b²)
e'' = √((a²-b²)/(a²+b²))

地球の離心率

地球の形状は、完全な球ではなく回転[[楕円体]]で近似されます。GRS80回転[[楕円体]]を用いた場合、地球の離心率はおよそe ≈ 0.0818、e² ≈ 0.0067となります。これは、地球の扁平率から計算によって求められます。

まとめ

離心率は、円錐曲線の形状を特徴づける重要なパラメータです。その値によって曲線の種類が決定され、楕円や地球の形状を記述する際にも用いられます。第一離心率以外にも、第二、第三離心率も存在し、それぞれの文脈に応じて適切な離心率を用いる必要があります。 この概念は、数学、天文学、測地学など様々な分野で応用されています。

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