図形の相似

相似（そうじ）

相似とは、二つの図形が互いに同じ「形」をしている状態を指します。厳密には、一方の図形を適当な比率で拡大または縮小し、さらに平行移動、回転、あるいは対称移動といった合同変換を何度か施すことで、もう一方の図形と完全に重ね合わせられる場合に、これらの図形は相似であると言われます。合同とは、大きさと形が両方とも同じである状態ですが、相似は形が同じであれば大きさは異なっていても構いません。数学的な文脈では、合同も相似の特別な場合（拡大縮小率が1の場合）として扱われるのが一般的です。

記号と基本的な性質

図形Fと図形Gが相似であることを示すには、欧米では「F ∼ G」と表記されることが多いですが、日本ではSを横に倒したような記号「F ∽ G」が広く使われています。これらの記号は、17世紀の数学者ゴットフリート・ライプニッツによって考案されたと言われています。

相似な図形には、いくつかの重要な性質があります。

1. 対応する辺の長さの比は一定である：相似な図形の対応する辺の長さは、すべて同じ比率になります。この比率を「相似比」と呼びます。例えば、図形Fをr倍に拡大（または1/r倍に縮小）して図形Gと合同になるならば、FとGの相似比は「1 : r」と表されます。特に相似比が1:1のとき、その二つの図形は合同です。
2. 対応する角の大きさは等しい：相似な図形において、対応する頂点の角の大きさはそれぞれ等しくなります。

面積比と体積比

相似な図形や立体では、辺の長さの比である相似比から、面積比や体積比を簡単に求めることができます。相似比が 1 : r である場合、対応する部分の面積の比は相似比の2乗である 1² : r²、すなわち 1 : r² となります。同様に、対応する部分の体積の比は相似比の3乗である 1³ : r³、すなわち 1 : r³ となります。この性質は、地図上の面積から実際の面積を計算したり、模型の体積から実物の体積を推定したりする際などに利用されます。

相似な図形・そうでない図形の例

どのような図形が相似になりやすいのでしょうか。一般的に、形状がただ一つに定まる図形は、大きさが違っても相似になります。例えば、すべての正三角形、すべての正方形、すべての円、すべての球などは、大きさが異なっても必ず相似です。これらは拡大縮小だけで形を変えずに大きさを変えられるためです。

一方、直角三角形やひし形、長方形、楕円、角柱、円錐など、同じ名称でも様々な形が存在する図形は、大きさが異なっても必ずしも相似になるとは限りません。これらの図形が相似になるためには、特定の条件（例えば、対応する角がすべて等しい、対応する辺の比がすべて等しいなど）を満たす必要があります。

多角形と三角形の相似条件

二つの多角形が相似であるためには、前述の性質の通り、対応する辺の長さの比がすべて等しく、かつ、対応する角の大きさがすべて等しいという両方の条件を満たす必要があります。

しかし、三角形の場合は特別な性質があり、より少ない条件で相似が決定します。これは、三角形の形が比較的単純であり、いくつかの情報だけでその形が一意に定まるためです。三角形の相似条件は以下の三つです。

1. 二角相等（AA）：二つの三角形で、対応する二組の角がそれぞれ等しい場合、それらの三角形は相似です。残りの一つの角も自動的に等しくなるためです。
2. 三辺比相等（SSS）：二つの三角形で、対応する三組の辺の長さの比がすべて等しい場合、それらの三角形は相似です。
3. 二辺比夾角相等（SAS）：二つの三角形で、対応する二組の辺の長さの比が等しく、かつ、その二辺に挟まれた角（夾角）が等しい場合、それらの三角形は相似です。

これらの条件は、図形の相似を判定する上で非常に重要です。

発展的な概念

相似の考え方は、ユークリッド幾何学の図形に留まりません。例えば、距離空間においては、任意の二点間の距離が一定の比率で保たれる変換を「相似変換」と定義し、この変換によって移り合う集合を相似とみなすことがあります。

また、位相幾何学などでは、距離の代わりに二点間の「近さ」を表す類似度関数を用いて、集合間の類似性を論じることもあります。

さらに、「自己相似」という概念があります。これは、図形やパターンの一部を拡大したときに、元の全体と相似になる性質を指します。フラクタル図形などがその代表例で、自然界にも海岸線の形状や植物の枝分かれなど、自己相似性を持つ例が見られます。自己相似な集合は、通常の整数の次元（1次元の線、2次元の面、3次元の立体など）ではなく、非整数値をとる「ハウスドルフ次元」などの概念で特徴づけられることがあります。

相似は、図形の性質を理解する上での基本的な概念であり、幾何学のみならず、様々な数学分野や科学技術に応用されています。

もう一度検索