変分法 (解析力学)

変分法：汎関数の微分と近似解への応用

変分法は、関数を入力として値を出力する汎関数に対して、微分と同様の操作を行う数学的手法です。オイラーとラグランジュによって確立され、解析力学、量子力学、物性物理学など、様々な分野で重要な役割を果たしています。特に、厳密解が得られない複雑な問題に対して、近似解を得るための強力なツールとして広く利用されています。

変分法の基礎

変分法の中心的なアイデアは、汎関数の極値（最小値や最大値）を求めることです。これは、微積分における関数の極値を求める問題と類似していますが、扱う対象が関数全体である点が異なります。変分法では、汎関数の変分（小さな変化）を計算し、その変分がゼロとなる条件から極値を与える関数を決定します。

代表的な変分原理として、以下のものが挙げられます。

フェルマーの原理: 光の経路は、光線が最短時間で進む経路となります。
最小作用の原理: 力学系は、作用（系の状態と時間発展を表す量）が最小となる経路を辿ります。
* ディリクレの原理: 静電場における電位分布は、エネルギーが最小となる分布となります。

これらの原理は、変分法を用いて数学的に定式化され、物理現象を記述する方程式を導出する際に重要な役割を果たします。

変分法による近似計算

変分法は、近似解を求めるための強力な手法でもあります。特に、量子力学における多体問題では、多体系の波動関数を厳密に求めることが困難なため、変分法を用いた近似計算が不可欠となります。

変分法による近似計算の手順は次の通りです。

1. 試行関数の選択: 系の状態を記述する波動関数（試行関数）を、ある関数形を仮定して選びます。試行関数は、系の対称性や既知の情報などを考慮して適切に選択する必要があります。
2. 期待値の計算: ハミルトニアン（系のエネルギー演算子）を用いて、試行関数の期待値を計算します。この期待値は、系のエネルギーの近似値となります。
3. パラメータの最適化: 試行関数には、調整可能なパラメータが含まれていることが多いです。これらのパラメータを変化させて期待値を最小化することで、より精度の高い近似解を求めます。

この手順において、試行関数の選び方は近似解の精度に大きく影響します。より精度の高い近似解を得るためには、系の性質をよく反映した試行関数を選ぶ必要があります。

ヘリウム原子への応用

変分法は、ヘリウム原子の基底状態エネルギーを計算する際にも利用できます。ヘリウム原子は、原子核の周りを2つの電子が運動する系であり、電子間の相互作用を考慮すると厳密解を求めるのは困難です。

変分法では、2つの電子の波動関数を試行関数として選び、その期待値を計算します。そして、試行関数に含まれるパラメータを調整することで、基底状態エネルギーのより良い近似値を得ることができます。

単純な試行関数を使用した場合でも、実験値に近いエネルギー値を得ることができますが、より複雑な試行関数を使用することで、さらに精度の高い近似値を得ることが可能です。この計算は、量子化学や物理化学において、変分モンテカルロ法などの計算手法を用いて行われます。

まとめ

変分法は、汎関数の極値を求める数学的手法であり、物理学や工学における様々な問題の近似解を求めるために広く用いられています。最小作用の原理などの重要な原理の導出や、多体問題における波動関数の近似計算など、様々な応用があります。本記事では、変分法の基本的な概念、計算例、そしてヘリウム原子への応用について解説しました。変分法は、複雑な問題に対する近似解を得るための強力なツールであり、これからも様々な分野で活用されていくでしょう。

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