外接球面

外接球面とは

多面体のすべての頂点が、同一の球面上に位置しているとき、その球面を「外接球面（がいせつきゅうめん）」と呼びます。この球面の半径は「外半径（がいはんけい）」、中心は「外心（がいしん）」と呼ばれます。

この幾何学的な概念は、平面図形である多角形における「外接円」を三次元の多面体に応用したものです。外接円が多角形のすべての頂点を通る円であるのと同様に、外接球面は多面体のすべての頂点を通る球面として定義されます。

存在の条件

すべての多面体に対して、必ずしも外接球面が存在するわけではありません。特に、高い対称性を持つ正多面体（例：正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体）には、必ず外接球面が存在します。

しかし、ほとんどの非正多面体には外接球面が存在しません。これは、多面体のすべての頂点が偶然にも一つの球面上に正確に位置するという状況は、一般的な多面体においては稀であるためです。外接球面が存在するためには、多面体の頂点の配置に特定の幾何学的条件が満たされる必要があります。

包含球面との違い

外接球面は、その多面体を内部に含む「包含球面（ほうがんきゅうめん）」の一種です。しかし、外接球面が存在する場合であっても、それが必ずしも多面体を包む球面のなかで最も小さいもの、すなわち「最小包含球面（さいしょうほうがんきゅうめん）」であるとは限りません。

例えば、一つの立方体を考えます。この立方体には外接球面が存在します。次に、この立方体の一つの頂点を選び、それに隣接する三つの頂点と合わせて合計四つの頂点を結んでできる四面体を考えてみましょう。この四面体は、もとの立方体と同じ外接球面を持ちます。ところが、この四面体は、元の立方体の外接球面よりも小さな球面に包含されることがあります。具体的には、三つの隣接する頂点がその小さな球面の赤道上に位置するような球面が存在します。

最小包含球面は、与えられた図形を包含する最も小さい球面のことで、任意の多面体に対して常に存在し、一意に定まります。外接球面とは異なり、最小包含球面は常に計算可能です。興味深い性質として、任意の多面体の最小包含球面は、その多面体の頂点集合の適当な部分集合の凸包の外接球面として得られる場合があります。

その他の関連する球面

多面体に関連する特別な球面は、外接球面以外にも存在します。

「内接球面（ないせつきゅうめん）」は、多面体のすべての面に接する球面のことを指します。内接球面が存在する多面体も、外接球面と同様に限定されています。

また、「中点球面（ちゅうてんきゅうめん）」は、多面体のすべての辺に接する球面のことを指します。この球面も、特定の種類の多面体にのみ存在します。

これらの三つの球面（内接球面、中点球面、外接球面）がすべて存在するのは、正多面体の場合です。さらに、正多面体においては、これらの三つの球面の中心はすべて同じ位置にあります。つまり、正多面体の内接球面、中点球面、外接球面は同心となります。

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