平方根

平方根とは？

ある数aに対して、その二乗がaになる数をaの平方根といいます。つまり、x² = a を満たすxがaの平方根です。

例えば、9の平方根は3と-3です（3² = 9, (-3)² = 9）。0の平方根は0のみです。

実[[数]]の平方根

正の実[[数]]の平方根は、正の数と負の数の2つが存在します。正の平方根は根号（√）を用いて表し、例えば√9 = 3 となります。負の平方根は -√9 = -3 となります。正の平方根を特に「主平方根」と呼びます。

負の数の平方根は実[[数]]ではありません。虚数単位 i （i² = -1）を用いて表されます。例えば、-9の平方根は 3i と -3i です。

複素数の平方根

複素数a (a≠0) の平方根は、代[[数学の基本定理]]により2つ存在します。複素数の極形式を用いると、平方根を計算することができます。

平方根の性質

a > 0, b > 0 のとき、√(ab) = √a√b と √(a/b) = √a/√b が成り立ちます。
√(x²) = |x| が成り立ちます。絶対値記号は、xが負の数の場合は正にすることを意味します。
* 正の整数の平方根が整数とは限りません。例えば、√2 や √3 は無理数です。無理数の平方根の小数部分は循環しません。

平方根の計算

平方根の計算には、開平法という方法が知られています。これは、手計算で平方根の近似値を求める方法です。

また、平方根を簡略化することも可能です。例えば、√8 = √(4×2) = 2√2 のように、平方[[数]]を取り出すことで計算を簡単にすることができます。

平方根の近似値

平方根の近似値を求めるには、電卓やコンピューターを利用するのが一般的です。比較的小さな数の平方根については、語呂合わせで近似値を覚える方法も存在します。例えば、√2 ≈ 1.41421356… は「一夜一夜に人見頃」という語呂合わせで覚えられます。

平方根関数

入力xに対してその非負の平方根√xを返す関数を平方根関数と呼びます。この関数は、非負の実[[数]]全体の集合上では全単射となります。平方根関数の導関数や不定積分も知られています。また、|x| < 1 の範囲で収束する冪級数展開も存在します。

繰り返し平方根

x ≥ 0 と自然数 n に対して、繰り返し平方根 f_n(x) = √(x + √(x + √(x + ...))) （x および根号の個数は n）を定義できます。この関数列は、ある値 α(x) に収束します。

行列の平方根

正方行列Aに対して、X² = A を満たす正方行列XをAの平方根行列といいます。平方根行列は必ずしも存在するとは限らず、存在しても1つだけとは限りません。正定値エルミート行列の主平方根は一意に定まります。

可換整域と可換体

可換整域では、各元の平方根は高々2つしか存在しません。標数2の可換体では、各元の平方根は1つ持つ、または全く持たないかのいずれかです。それ以外の標数の体では、非零元は2つの平方根を持つ、または全く持たないかのいずれかです。

非可換環

非可換環や零因子を持つ環では、平方根の一意性は保証されません。例えば、合同類環 Z/8Z では、単位元1は4つの平方根を持ちます。四元[[数]]体では、-1は無限個の平方根を持ちます。

まとめ

平方根は、数学における基本的な概念であり、様々な分野で応用されています。この記事では、平方根の定義、性質、計算方法、そして様々な数の体系における平方根の性質について解説しました。これらの知識は、数学をさらに深く理解する上で役立つでしょう。

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