立方根

立方根：数の三乗根を解き明かす

立方根とは、ある数を三乗した結果となる数のことです。例えば、8の立方根は2です（2 × 2 × 2 = 8）。これは、三乗根とも呼ばれます。

定義と表記

集合Eにおいて、要素aに対して、a = x³を満たすxが存在する場合、xはaの立方根です。この計算過程は開立と呼ばれます。実数の範囲では、任意の実数aに対して、その立方根は常に一つだけ存在し、立方根記号「∛」を用いて、∛aと表されます。

立方根の性質

正の実数aに対して、以下の性質が成り立ちます。

∛(-a) = -∛a

つまり、負の数の立方根は、対応する正の数の立方根に-1をかけたものになります。

1の立方根には、1と2つの虚数解が存在します。これらの虚数解は、ωとω²で表され、それぞれ1の原始3乗根となります。これらの間には、以下の関係式が成り立ちます。

1 + ω + ω² = 0

ωとω²は、具体的には以下のようになります。

ω = -1/2 + (√3/2)i

ω² = -1/2 - (√3/2)i

ここで、iは虚数単位（i² = -1）です。また、ω²はωの複素共役です。これらの値は、オイラーの公式を用いて、以下のようにも表現できます。

ω = exp(i(2π/3 + 2kπ))

ω² = exp(i(4π/3 + 2kπ))

ω̄ = exp(i(-2π/3 + 2kπ))

ここで、kは整数、expは指数関数、iは虚数単位です。

さらに、以下の関係も成り立ちます。

ω + 1 = -ω²

ω̄ + 1 = -ω

1/ω = ω²

1/ω² = ω

0でない複素数αの立方根は3つ存在し、複素平面上で原点を中心とする半径∛|α|の円に内接する正三角形の頂点となります。

具体的な数値例

いくつかの数の立方根を以下に示します。

∛2 ≈ 1.2599
∛3 ≈ 1.4422
∛4 ≈ 1.5874
∛5 ≈ 1.7099
∛6 ≈ 1.8171
∛7 ≈ 1.9129
∛8 = 2
∛9 ≈ 2.0800
* ∛10 ≈ 2.1544

複素数の立方根

複素数zの立方根は、以下の式で表されます。

z^(1/3) = exp((1/3)ln z)

極形式を用いて表現すると、

z = r exp(iθ) (r ≥ 0, -π < θ ≤ π)

としたとき、zの立方根は

∛z = ∛r exp(iθ/3)

となります。複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とします。例えば、∛(-8)の主要根は1 + √3iとなります。主要根の偏角の範囲は-π/3 < θ/3 ≤ π/3です。

単位円上での例

単位円上において、zと-zの立方根の主要根の関係を考えます。例えば、θ = 21°のとき、

∛z = cos 7° + i sin 7°

∛(-z) = -ω(cos 7° + i sin 7°) = cos(-53°) + i sin(-53°)

となります。

関連する概念

立方根は、立方数、平方数、冪根、平方根、代数的数、定規とコンパスによる作図、立方体倍積問題、折紙の数学などの数学的概念と密接に関連しています。

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