多様体の圏
圏論は現代数学の基礎的な枠組みの一つであり、様々な数学的対象とその間の構造を保つ写像を抽象的に取り扱います。その中でも、幾何学的な対象である多様体を圏論の視点から捉えたものが「Cp-級多様体の圏」Manp です。
この圏 Manp は、以下の要素から構成されます。まず、圏の「対象」としては、Cp-級可微分多様体と呼ばれる数学的な空間が考えられます。Cp-級可微分多様体とは、局所的にユークリッド空間と同相であり、かつ座標変換写像が Cp-級（p回連続的に微分可能）であるような位相空間に、その構造を定める適切なアトラスの同値類が付与されたものです。ここでいう Cp-級とは、微分可能性の滑らかさの度合いを示し、p=0は連続、p=∞は無限回微分可能（滑らか）、p=ωは実解析的であることを意味します。
次に、圏の「射」は、これらの多様体の間の構造を保つ写像です。具体的には、多様体 M から多様体 N への Cp-級可微分写像が Manp の射となります。Cp-級可微分写像とは、M の各点において、局所座標を用いて表現したときに、それがCp-級（p回連続的に微分可能）であるような写像のことです。
これらの対象と射に対して、射の合成（写像の合成）が定義されます。二つの Cp-級可微分写像を合成すると、やはり結果は Cp-級可微分写像となることが知られています。この性質により、Manp は圏の基本的な公理（合成の結合法則や単位射の存在）を満たし、数学的に正当な圏となります。
多様体の圏 Manp は、様々な文脈で応用されます。特定の構造を持つ多様体のみを考察の対象としたい場合、例えば、ある抽象的な圏 A の対象をモデル空間とするような多様体（いわゆる A における多様体対象）の集まりとその間の写像を考えることがあります。このような限定されたクラスの多様体が成す圏は、Manp(A) と表記されることがあります。同様に、特定の数学的空間 E の上で定義される多様体を対象とする圏は Manp(E) と表されることがあります。これらの記法は、研究対象を明確にするために用いられます。
微分可能性の度合い p を変更することで、多様体の圏は様々なバリエーションを持ちます。特に重要なものとして、p=∞ の場合である「滑らかな多様体の圏」Man∞ が挙げられます。滑らかな多様体は無限回微分可能な構造を持つ多様体であり、微分幾何学の中心的な研究対象です。また、p=ω の場合である「解析多様体の圏」Manω もあります。解析多様体は実解析的な構造を持つ多様体であり、より強い性質を持つため、複素多様体論などとも関連が深いです。これらの圏も、同様に多様体を対象とし、対応する滑らかな写像や解析写像を射とする圏として定義されます。
さて、圏 Manp は「具体圏」としての性質も持っています。具体圏とは、その対象が集合に特定の構造が付与されたものであり、射がその構造を保つ写像であるような圏を指します。Manp の場合、その対象である Cp-級可微分多様体は、台となる集合に、位相構造と Cp-級可微分構造（局所座標系とその間の遷移写像のCp-級性によって定まる）が付与されたものです。そして、射である Cp-級可微分写像は、これらの付与された構造を「保つ」写像です（具体的には、位相構造に関しては連続写像であり、可微分構造に関しては局所的にCp-級である写像です）。
具体圏である Manp から、その対象が持つ構造の一部を「忘れる」操作に対応する「忘却函手」を考えることができます。例えば、Cp-級可微分多様体から可微分構造の情報を取り除き、その台となる位相空間のみを考え、Cp-級可微分写像からその台となる連続写像のみを考えると、位相空間の圏 Top への函手 U: Manp → Top が得られます。これは、Manp の対象を Top の対象に、Manp の射を Top の射に対応させる操作であり、圏の構造（合成と単位射）を保ちます。さらに、位相構造まで取り除き、単に台となる集合として多様体を捉え、写像を単なる集合間の写像と見なすことで、集合の圏 Set への函手 U′: Manp → Set も同様に得られます。これらの忘却函手は、多様体の圏と他のより基本的な圏（位相空間の圏や集合の圏）との関係性を示唆するものです。
Cp-級多様体の圏 Manp は、多様体論における様々な概念や構成を統一的に理解するための強力なツールであり、微分幾何学、トポロジー、さらには数理物理学など、幅広い分野で利用されています。
この圏 Manp は、以下の要素から構成されます。まず、圏の「対象」としては、Cp-級可微分多様体と呼ばれる数学的な空間が考えられます。Cp-級可微分多様体とは、局所的にユークリッド空間と同相であり、かつ座標変換写像が Cp-級（p回連続的に微分可能）であるような位相空間に、その構造を定める適切なアトラスの同値類が付与されたものです。ここでいう Cp-級とは、微分可能性の滑らかさの度合いを示し、p=0は連続、p=∞は無限回微分可能（滑らか）、p=ωは実解析的であることを意味します。
次に、圏の「射」は、これらの多様体の間の構造を保つ写像です。具体的には、多様体 M から多様体 N への Cp-級可微分写像が Manp の射となります。Cp-級可微分写像とは、M の各点において、局所座標を用いて表現したときに、それがCp-級（p回連続的に微分可能）であるような写像のことです。
これらの対象と射に対して、射の合成（写像の合成）が定義されます。二つの Cp-級可微分写像を合成すると、やはり結果は Cp-級可微分写像となることが知られています。この性質により、Manp は圏の基本的な公理（合成の結合法則や単位射の存在）を満たし、数学的に正当な圏となります。
多様体の圏 Manp は、様々な文脈で応用されます。特定の構造を持つ多様体のみを考察の対象としたい場合、例えば、ある抽象的な圏 A の対象をモデル空間とするような多様体（いわゆる A における多様体対象）の集まりとその間の写像を考えることがあります。このような限定されたクラスの多様体が成す圏は、Manp(A) と表記されることがあります。同様に、特定の数学的空間 E の上で定義される多様体を対象とする圏は Manp(E) と表されることがあります。これらの記法は、研究対象を明確にするために用いられます。
微分可能性の度合い p を変更することで、多様体の圏は様々なバリエーションを持ちます。特に重要なものとして、p=∞ の場合である「滑らかな多様体の圏」Man∞ が挙げられます。滑らかな多様体は無限回微分可能な構造を持つ多様体であり、微分幾何学の中心的な研究対象です。また、p=ω の場合である「解析多様体の圏」Manω もあります。解析多様体は実解析的な構造を持つ多様体であり、より強い性質を持つため、複素多様体論などとも関連が深いです。これらの圏も、同様に多様体を対象とし、対応する滑らかな写像や解析写像を射とする圏として定義されます。
さて、圏 Manp は「具体圏」としての性質も持っています。具体圏とは、その対象が集合に特定の構造が付与されたものであり、射がその構造を保つ写像であるような圏を指します。Manp の場合、その対象である Cp-級可微分多様体は、台となる集合に、位相構造と Cp-級可微分構造（局所座標系とその間の遷移写像のCp-級性によって定まる）が付与されたものです。そして、射である Cp-級可微分写像は、これらの付与された構造を「保つ」写像です（具体的には、位相構造に関しては連続写像であり、可微分構造に関しては局所的にCp-級である写像です）。
具体圏である Manp から、その対象が持つ構造の一部を「忘れる」操作に対応する「忘却函手」を考えることができます。例えば、Cp-級可微分多様体から可微分構造の情報を取り除き、その台となる位相空間のみを考え、Cp-級可微分写像からその台となる連続写像のみを考えると、位相空間の圏 Top への函手 U: Manp → Top が得られます。これは、Manp の対象を Top の対象に、Manp の射を Top の射に対応させる操作であり、圏の構造（合成と単位射）を保ちます。さらに、位相構造まで取り除き、単に台となる集合として多様体を捉え、写像を単なる集合間の写像と見なすことで、集合の圏 Set への函手 U′: Manp → Set も同様に得られます。これらの忘却函手は、多様体の圏と他のより基本的な圏（位相空間の圏や集合の圏）との関係性を示唆するものです。
Cp-級多様体の圏 Manp は、多様体論における様々な概念や構成を統一的に理解するための強力なツールであり、微分幾何学、トポロジー、さらには数理物理学など、幅広い分野で利用されています。
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