多重積分

重積分：多次元世界の積分

重積分とは、複数の変数を持つ関数を積分する手法です。一変数関数の定積分がグラフとx軸の間の面積を表すように、重積分は多次元空間における体積や超体積を表します。この記事では、重積分の定義、性質、計算方法、そして物理学における応用について解説します。

重積分の定義

まず、重積分の定義を厳密に見ていきましょう。n変数関数f(x₁, x₂, …, xₙ)のn次元超矩形領域T=[a₁, b₁)×[a₂, b₂)×…×[aₙ, bₙ)上での重積分は、Tを小さなn次元超矩形に分割し、各超矩形内の関数値と超矩形の体積の積の和の極限として定義されます。この極限が存在する場合、関数はリーマン可積分であると言われ、その極限値が重積分の値となります。

数学的には、以下のように表現されます。

∫…∫ₜ f(x₁, x₂, …, xₙ) dx₁…dxₙ

ここで、dx₁…dxₙはn次元体積要素を表します。

重積分の性質

重積分は、一変数関数の積分と同様にいくつかの重要な性質を持ちます。

線形性: ∫(αf + βg)dx = α∫f dx + β∫g dx (α, βは定数)
加法性: ∫(D∪E)f dx = ∫Df dx + ∫Ef dx (DとEは互いに素)
単調性: f ≤ g ならば∫f dx ≤ ∫g dx
絶対値に関する不等式: |∫f dx| ≤ ∫|f| dx

これらの性質は、重積分の計算や評価において非常に役立ちます。

フビニの定理と積分順序の変更

フビニの定理は、重積分の積分順序の変更に関する重要な定理です。この定理によると、ある条件下では重積分の値は積分順序に依存しません。具体的には、|f|が可積分であれば、積分順序を交換しても積分の値は変わりません。この定理は、重積分の計算を簡単にするために非常に役立ちます。

変数変換

重積分の計算を簡単にするために、変数変換が用いられることがあります。変数変換を行うことで、積分領域の形を単純化したり、被積分関数を簡単な形にすることができます。変数変換の公式は、ヤコビアンと呼ばれる行列式を用いて表現されます。

広義積分

積分領域が無限大である場合や、被積分関数が無限大になる場合、広義積分を考える必要があります。広義積分は、積分領域や関数の定義域を徐々に広げていく極限として定義されます。

重積分と累次積分

特定の条件下では、重積分は累次積分に帰着できます。累次積分とは、変数を一つずつ順番に積分していく方法です。フビニの定理が成立する場合、重積分は累次積分の順序に依存しません。しかし、絶対可積分でない場合、重積分と累次積分は異なる結果になる場合があります。

物理学における応用

重積分は、物理学において様々な場面で用いられます。

力学: 慣性モーメントの計算
電磁気学: 電場や磁場の計算
* 流体力学: 流体の運動の記述

これらの計算において、重積分は不可欠なツールとなっています。

まとめ

重積分は、多次元空間における積分であり、様々な分野で応用されています。その定義、性質、計算方法を理解することは、数学や物理学を学ぶ上で非常に重要です。この記事が、重積分の理解の一助となれば幸いです。

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