慣性モーメント

慣性モーメントの概要

慣性モーメント（英: moment of inertia）とは、物体が回転する際の特性を示す物理量であり、物体の質量の分布に依存します。具体的には、物体の角運動量と角速度の関係に基づいているため、物体がどれほど回転しやすいか、または回転を抑制するかを示します。慣性モーメントは、物体が持つ質量と、その質量が回転軸からどれだけ離れているかによって決まります。

定義と数式

質点系がある回転軸の周りに均一な角速度ベクトルで回転する際、質点系が持つ角運動量ベクトルは次のように表されます。

$$ L_j = \sum_{k=1}^{3} I_{jk} \omega_k $$

ここに、$m_i$ は $i$ 番目の質点の質量、$r_i$ は回転軸上の原点との相対座標です。この定義から、慣性モーメントテンソル $I$ は次のように展開されます。

$$ I_{jk} = \sum_{i} m_i \left( r_i^2 \delta_{jk} - r_{i,j} r_{i,k} \right) $$

ここで、$\delta_{jk}$ はクロネッカーのデルタであり、$r_{i,j}$ はベクトル $r_i$ の $j$ 成分を示します。これにより、慣性モーメントは対称テンソルとして表現されることになります。

慣性モーメントの計算

物体の回転軸に沿った慣性モーメントを求める際は、単位ベクトル $n$ を使用します。この時、慣性モーメント $I$ は次のように計算されます。

$$ I = n \cdot (I n) = \sum_{i} m_i (r_i^2 - (r_i \cdot n)^2) $$

この関係式によって、特定の軸についての慣性モーメントを算出できます。

慣性主軸と主慣性モーメント

慣性テンソルは実対称行列であるため、適切な直交座標系を選ぶことで対角化でき、その座標軸を「慣性主軸」と呼びます。その際、対応する慣性モーメントを「主慣性モーメント」と呼びます。この主慣性モーメントの計算は、以下のように表現できます。

$$ L = I \omega $$

計算の具体例

例えば、質量 $m$ と $M$ の物体が重心から両端に取り付けられた棒を考えます。この棒の中心における慣性モーメント $I$ は、

$$ I = ma^2 + M(L - a)^2 $$

のように表され、中心位置によって慣性モーメントの値は変化することがわかります。

慣性モーメントの特性

一般的に、剛体の慣性モーメントはその質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなります。また、重心を通る回転軸の場合、慣性モーメントは最小値を取る性質があります。

回転エネルギー

慣性テンソル $I$ の物体が角速度 $\omega$ で回転している場合、その運動エネルギー $T$ は次のように表現できます。

$$ T = \frac{1}{2} I \omega^2 $$

応用

慣性モーメントは主に工学や物理学において幅広く応用されています。特に、フライホイール（はずみ車）に関する技術は、急激な回転速度の変化を抑制したり、回転によるエネルギーを蓄えるために使用されます。

このように慣性モーメントは、物体の回転特性を評価・解析するための重要な概念です。

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