大二重変形二重斜方十二面体

大二重変形二重斜方十二面体（スキリングの立体）

大二重変形二重斜方十二面体、またはスキリングの立体として知られるこの立体は、幾何学において特異な存在です。その発見にはコンピューター技術が大きく貢献しており、従来の幾何学的な分類からは逸脱した、非常に複雑な構造を持つ立体と言えるでしょう。

コンピューターによる発見

一様多面体の研究において、H.S.M.コクセターらが発表した75種類が全てであるという説がありました。しかし、J.スキリングはコンピューターを用いた解析により、条件を緩和することで、それまで知られていなかった新たな多面体を見出しました。それがこの大二重変形二重斜方十二面体です。厳密には一様多面体とはみなされず、Degenerate uniform polyhedron（縮退一様多面体）として分類されています。

一様多面体との関連性

一様多面体の定義をほとんど満たしているものの、4枚の面が同じ辺で重なるという特徴があります。この点が、通常の一様多面体とは異なる点であり、分類上の一つの違いを生み出しています。この特異な構造により、通常の幾何学的な分析では捉えきれない複雑さを持つ立体となっています。

構成要素と性質

この立体は、以下の構成要素から成り立っています。

正三角形: 120枚（変形面）
正方形: 60枚（星型八角形が30枚、変形面、中心を通る）
星型五角形: 24枚（星型十角形が12枚）

合計で204枚の面を持ち、辺数は240本（120の辺に4枚の面が交わるため、解釈によっては360本と数えることも可能です）、頂点数は60個です。各頂点には、正三角形6枚、正方形4枚、星型五角形2枚が集まるという、非常に複雑な頂点形状 `(5/2, 4, 33, 4, 5/3, 4, (3/2)3, 4)/2` を持ちます。

ワイソフ記号は `|(3/2) 5/3 (3) 5/2` と表されます。この記号は、立体の対称性や構成要素を簡潔に表現するのに用いられるもので、この立体の複雑さを端的に示しています。

関連する立体

この立体は、他の幾何学的な立体とも関連しています。その枠（構成面の配置）を共有する立体として、以下のものがあります。

大二重斜方二十・十二面体
* 大変形十二・二十・十二面体

また、20個の正八面体、もしくは20個の四面半六面体の複合多面体としても解釈できます。これらの立体との関係性を分析することで、大二重変形二重斜方十二面体の持つ幾何学的性質をより深く理解することができるでしょう。

双対多面体

この立体の双対多面体は、Great disnub dirhombidodecacron と呼ばれます。無限遠点を含むため、通常の双対多面体とは異なった特性を持ちます。外観は、大二重斜方二十・十二面体の双対と共通点が見られます。

まとめ

大二重変形二重斜方十二面体は、その複雑な構造と、一様多面体との微妙な関連性から、数学的・幾何学的に非常に興味深い立体です。コンピューター技術の進歩によって発見されたこの立体は、幾何学の新たな地平を切り開いたと言えるでしょう。今後の研究によって、その性質や関連する立体との関係性がさらに解明されていくことが期待されます。

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