カントール集合

カントール集合

カントール集合は、数学、特に集合論やトポロジー、フラクタル幾何学の分野で重要な役割を果たす特異な集合です。これはフラクタルの典型例の一つとして知られ、様々な文脈で登場します。正式名称としてはカントール集合（Cantor set）と呼ばれますが、その構成方法からカントールの三進集合やカントル集合とも表記されます。また、フラクタルという概念を広めたブノワ・マンデルブロは、位相次元がゼロであることからカントール・ダストあるいはカントールのフラクタルダストとも呼んでいました。

歴史的背景

この興味深い集合が初めて記述されたのは、ドイツの数学者ゲオルク・カントールが体系的に研究を行うより以前のことです。1874年、イギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミスが、カントール集合に相当する集合について論じました。その後、1883年にゲオルク・カントールが自身の研究の中でこの集合を紹介し、詳細な性質を探求したことで広く知られるようになりました。カントール自身は、抽象的な概念としてこの集合を捉えていましたが、その着想は、当時研究していた三角級数が収束しない点全体がなす集合という具体的な数学的問題から得られたと言われています。カントール集合の発見は、彼を無限集合に関するより抽象的で一般的な理論の構築へと導く大きな契機となりました。

興味深い余談として、古代エジプトのフィラエ島にある建物の柱頭に、カントール集合の幾何学的構成を思わせるパターンが見られることが指摘されています。カントールのいとこがエジプト学者であったことから、カントールがその模様を目にしていた可能性も示唆されています。

構成方法

カントール集合を理解するための最も直感的な方法は、幾何学的な手続きを考えることです。これは、繰り返し（再帰的）操作によって集合を生成する手法です。

まず、単位閉区間 $[0, 1]$ を出発点とします（これを $C_0$ とします）。
次に、この区間を3等分し、中央の開区間 $(1/3, 2/3)$ を取り除きます。これにより、2つの閉区間 $[0, 1/3]$ と $[2/3, 1]$ が残ります（これを $C_1$ とします）。
続いて、$C_1$ を構成する各区間（$[0, 1/3]$ と $[2/3, 1]$）に対しても同じ操作を行います。それぞれの区間を3等分し、中央の開区間を取り除きます。例えば、$[0, 1/3]$ からは $(1/9, 2/9)$ を、$[2/3, 1]$ からは $(7/9, 8/9)$ を取り除きます。残るのは4つの閉区間 $[0, 1/9], [2/9, 3/9], [6/9, 7/9], [8/9, 1]$ です（これを $C_2$ とします）。
この操作を無限に繰り返します。n回目の操作で残った集合を $C_n$ とすると、カントール集合はこの操作を無限に繰り返した結果として残る点すべての集合、すなわち、すべての $C_n$ の共通部分として定義されます。

数式で表すと、以下のようになります。

$$C = \bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}$$

ここで、$C_n$ は以下のように記述できます。

$${\begin{aligned}C_{0}&=\left[0,1\right]\\C_{1}&=\left[0,\frac {1}{3}\right]\cup \left[\frac {2}{3}},1\right]\\C_{2}&=\left[0,\frac {1}{9}\right]\cup \left[\frac {2}{9}},\frac {3}{9}\right]\cup \left[\frac {6}{9}},\frac {7}{9}\right]\cup \left[\frac {8}{9}},1\right]\\&\vdots \\C_{n}&=\left[0,\frac {1}{3^{n}}\right]\cup \dots \cup \left[\frac {3^{n}-1}{3^{n}},1\right]\end{aligned}}$$

$C_n$ と $C_{n-1}$ の関係は漸化式としても表現できます。

$$C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)$$

また、カントール集合は、初期単位区間 $I$ から取り除かれたすべての開区間全体の和集合を差し引く形でも表現できます。

$$C=I\setminus \bigcup _{m=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{m-1}-1}\left({\frac {3k+1}{3^{m}}},{\frac {3k+2}{3^{m}}}\right).$$

三進展開による定義

カントール集合は、数論的な観点からも定義できます。単位区間 $[0, 1]$ に含まれる実数を三進法（基数3）で無限小数表示することを考えます。カントール集合に含まれる点とは、この三進展開表示に数字の「1」が現れないような数全体の集合です。ただし、三進展開には一意でない場合があります（例: 1/3 = 0.1000... = 0.0222...）。このような場合、少なくとも一つ「1」を含まない表示が存在すれば、その数はカントール集合に属します。幾何学的構成法で取り除かれる区間は、ちょうど三進展開に「1」が含まれる数に対応しています。

力学系による定義

カントール集合は、ある種の離散力学系における不変集合としても特徴づけられます。単位区間上の写像 $f(x)$ を以下のように定義します。

$$f(x)=\left\{{ \begin{matrix} 3x & x<{\frac {1}{2}}\\ 3(1-x) & {\frac {1}{2}}\leq x \end{matrix}}\right.$$

この写像を繰り返し適用したときに、点が無限遠方に発散しないような単位区間内の初期点 $x_0$ 全体の集合が、 precisely カントール集合となります。

$$C=\left\{x_{0}:\lim _{n\to \infty }f^{n}(x_{0})
eq -\infty \right\}$$

主な性質

カントール集合は、一見するとバラバラな点の集まりのように見えますが、多くの興味深い数学的性質を持っています。

フラクタルと自己相似性: カントール集合はフラクタルの典型例です。集合全体が、それ自身を1/3に縮小して平行移動した2つの部分（左半分と右半分）の合併と一致します。これは自己相似性と呼ばれる性質です。この自己相似性から計算されるハウスドルフ次元は $\log_3 2$（約 0.6309）であり、これは通常の線分（次元1）よりも小さく、孤立点（次元0）とも異なる、分数次元を持つフラクタルであることを示しています。

測度と濃度: カントール集合のルベーグ測度はゼロです。つまり、「長さ」という観点からは「何も残っていない」かのようです。しかし、驚くべきことに、カントール集合に含まれる点の数は実数全体の集合と同じ「濃度」を持っています。これは、測度がゼロであるにも関わらず、集合が非常に多くの点を含んでいるという、初見では直感に反する性質です。カントール集合は、測度ゼロの非可算集合の最も有名な例として知られています。

位相的性質: カントール集合は、閉集合であり、かつ孤立点を持たない完全集合です。また、定義域である単位区間 $[0, 1]$ の部分集合として、コンパクト集合でもあります。さらに、任意の2点間に同相写像が存在するという意味で等質空間としての性質も持ちます。

保存法則: 幾何学的構成過程の各段階において残る区間の、カントール集合のフラクタル次元 $d_f$ におけるモーメントの和が常に一定になるという保存法則が見られます。

カントール数

カントール集合に属する点を特にカントール数と呼ぶことがあります。カントール数は、その特異な性質ゆえに興味深い性質を持ちます。例えば、$[0, 2]$ に属する任意の実数は、2つのカントール数の和として表現できることが知られています。一方で、任意の異なる2つのカントール数の間には、必ずカントール数でない数が存在することも示されています。

変種と高次元化

カントール集合の基本的な構成法を少し変更することで、様々なバリエーションを持つ集合を考えることができます。

スミス–ヴォルテラ–カントール集合: 単位区間から中央の1/3を取り除く代わりに、各段階で中央から異なる割合の開区間を取り除くように操作を変えることで得られる集合です。段階を経るごとに取り除く区間の割合を調整することで、カントール集合と同相でありながら、ルベーグ測度がゼロではない正の値を持つような、それでもなお「スカスカ」である（至る所疎な）集合を構成することも可能です。

確率的カントール集合: 構成過程にランダム性を導入したものです。例えば、区間を等間隔ではなくランダムな位置で分割したり、操作を適用する区間を確率的に選んだりします。このような確率的な構成によって得られるカントール集合は、決定論的なものとは異なるフラクタル次元を持つことがあります。確率的な構成においても、ある種の量が保存されるという性質が知られています。

* カントールの塵: カントール集合を複数個用意し、それらの直積集合として得られる高次元の集合はカントールの塵と呼ばれます。これはカントール集合の高次元版と言えます。カントール集合と同様に、カントールの塵もルベーグ測度はゼロとなります。

また、カントール集合を2次元に拡張した類似のフラクタルとして、正方形を9分割して中央を取り除く操作を繰り返すシェルピンスキーのカーペット、さらに3次元に拡張したメンガーのスポンジなどがあります。これらはカントール集合と同様に、基本的な形状を繰り返し取り除くことで生成されるフラクタルの代表例です。

まとめ

カントール集合は、単純な構成規則から生まれながらも、ルベーグ測度がゼロでありながら非可算無限という、直感に反する性質を持つ非常に興味深い数学的対象です。フラクタル幾何学の基礎となるだけでなく、集合論、測度論、力学系など、様々な数学分野で重要な概念として研究されています。

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