宇宙 (数学)
数理論理学や集合論において「宇宙（Universe）」という言葉は、考察や議論の対象となる全ての要素を含んだ領域や集合を指し示すために用いられます。この概念には複数の異なる捉え方があり、議論の文脈や数学の分野によってその定義は変化します。
最も基本的な「宇宙」の考え方の一つは、特定の研究や議論が完結する範囲として設定される任意の集合を指します。例えば、実数全体の性質を探求する場合、実数の集合である「実数直線 $\mathbf{R}$」がその考察における宇宙となり得ます。これは19世紀後半にゲオルク・カントールが初めて現代的な集合論と濃度の概念を発展させる際に用いた宇宙であり、彼の関心は主に $\mathbf{R}$ の部分集合に向けられていました。
この概念は、ベン図にも反映されています。ベン図では、伝統的に宇宙を大きな四角形で表現し、その内部に議論される集合を円で描きます。集合 A の補集合は、この宇宙 U に対する A の相対補集合として、四角形の A の円の外側の領域で示されます。つまり、$U \setminus A$ が宇宙 U における A の絶対補集合 $A^C$ と見なされるのです。
また、空積集合（要素が0個の集合の共通部分）の概念も宇宙に関連して理解されます。宇宙がなければ、空積集合は「すべてのものの集合」という、一般的には扱いが困難な概念となり得ます。しかし、特定の宇宙 U を想定することで、空積集合をその宇宙 U そのものとして扱うことができます。このような規則は、ブール束に基づいた基本的な集合論のアプローチにおいて非常に有用です。一般的に、集合論全体の構造はブール束ではありませんが、宇宙 U の冪集合 $\mathcal{P}(U)$ はブール束となり、上記の補集合の定義がブール演算に対応します。また、宇宙 U と空集合は、このブール束における最大元および最小元として機能します。
しかし、数学の研究対象は必ずしも一つの集合の内部に閉じているわけではありません。例えば、ある集合 X の部分集合の集まり（位相空間の開集合族など）や、X から X への関数、X 上の関係（X × X の部分集合）などを考える必要が生じます。これらの対象は、元々の集合 X そのものではなく、その冪集合 $\mathcal{P}(X)$ やデカルト積 $X \times X$ など、X から派生したより大きな集合の要素となります。したがって、関心の中心が X であったとしても、その上に構築される数学的構造を扱うためには、X よりもはるかに大きな「宇宙」が必要とされるのです。
このような要請に応える概念として、「上部構造」があります。ある集合 X から出発して、繰り返し冪集合を取り、それらを合併していくことで得られる階層構造全体の無限和です。
$S_0X = X$
$S_{n+1}X = S_nX \cup \mathcal{P}(S_nX)$
$\mathbf{S}X = \bigcup_{i=0}^{\infty} S_iX$
出発点として空集合 $X = \{\}$ を考えると、得られる上部構造 $\mathbf{S}\{\}$ は、全ての遺伝的有限集合を含みます。これは「有限主義者」と呼ばれる数学者の宇宙と考えることができます。
より一般的に、自然数全体の集合 $\mathbf{N}$ を出発点とした上部構造 $\mathbf{S}\mathbf{N}$ は、通常の数学で扱う多くの実体を含むと考えられます。例えば、自然数、順序対、関数、関係、さらにはデデキント切断などによる実数の構成といった多くの数学的対象が $\mathbf{S}\mathbf{N}$ の要素として表現されます。多くの「通常の」数学は、この $\mathbf{S}\mathbf{N}$ の中で展開されると見なされます。ただし、前節で述べたように $\mathbf{S}\mathbf{N}$ 自体はブール束ではなく、その要素である個々の集合 A の冪集合 $\mathcal{P}(A)$ がブール束となります。
$\mathbf{S}\mathbf{N}$ が通常の数学の宇宙となりうるという主張は、公理的集合論の枠組みでより厳密な意味を持ちます。実際、$\mathbf{S}\mathbf{N}$ はツェルメロ集合論（ZF集合論の原型）の一つのモデルとなることが知られています。しかし、上述の上部構造の構成自体、特に無限和のステップには、1922年にZF集合論に付け加えられた「置換公理」が必要です。したがって、$\mathbf{S}\mathbf{N}$ の存在や性質に関する議論は、ツェルメロ集合論を超えた「メタ数学」の領域、具体的にはZF集合論の中で行われることになります。
さらに、空集合から出発し、冪集合と和集合を任意の順序数にわたって超限帰納法的に繰り返すことで得られる、より包括的な構造として「フォン・ノイマン宇宙 $\mathbf{V}$」があります。
$V_0 = \{\}$
$V_{\alpha+1} = \mathcal{P}(V_\alpha)$
$V_\lambda = \bigcup_{\beta < \lambda} V_\beta$ (λが極限順序数の場合)
$\mathbf{V} = \bigcup_\alpha V_\alpha$ (全ての順序数 α にわたる和)
フォン・ノイマン宇宙 $\mathbf{V}$ は集合ではなく「真のクラス」と呼ばれる非常に広大な集まりです。ZF集合論の「正則性公理」は、全ての集合がこの $\mathbf{V}$ の要素であることを主張しています。
圏論においては、集合論の形式化とはやや異なる文脈で「宇宙」が用いられます。ここでは「グロタンディーク宇宙」と呼ばれる概念が登場します。これは、集合論の基本的な操作（和集合、共通部分、順序対、冪集合など）の結果がその内部に常に含まれるという「閉包性」を持つ特別な集合です。フォン・ノイマン宇宙 $\mathbf{V}$ が真のクラスであるのに対し、グロタンディーク宇宙はあくまで「集合」であることが特徴です。
グロタンディーク宇宙 U の利点は、真のクラスを直接扱うことによる形式的な問題を回避しつつ、巨大な数学的構造を議論できる点にあります。例えば、「全ての集合の圏」を考える代わりに、グロタンディーク宇宙 U の要素である集合（U-small集合と呼ばれる）のみを対象とする圏 U-Set を考えることができます。これにより、圏そのものが集合となるため、その上の構造（関手圏など）を集合論的に厳密に定義することが可能になります。
グロタンディーク宇宙を用いた議論ではしばしば「宇宙の公理」が仮定されます。これは「任意の集合 x に対し、x が要素となるようなグロタンディーク宇宙 U が存在する」という主張です。この公理は、どんな集合も何らかのグロタンディーク宇宙に対してU-smallと見なせることを保証し、数学全体をグロタンディーク宇宙の階層の中で捉える視点を提供します。この公理は、巨大な基数である「強到達不能基数」の存在と同値であることが知られています。
このように、「宇宙（Universe）」は数理論理学や数学基礎論において、議論の範囲を明確にするために、あるいは特定の数学的構造を構築・研究するための基盤として、様々なレベルで定義され活用されている概念です。
特定の文脈における宇宙
最も基本的な「宇宙」の考え方の一つは、特定の研究や議論が完結する範囲として設定される任意の集合を指します。例えば、実数全体の性質を探求する場合、実数の集合である「実数直線 $\mathbf{R}$」がその考察における宇宙となり得ます。これは19世紀後半にゲオルク・カントールが初めて現代的な集合論と濃度の概念を発展させる際に用いた宇宙であり、彼の関心は主に $\mathbf{R}$ の部分集合に向けられていました。
この概念は、ベン図にも反映されています。ベン図では、伝統的に宇宙を大きな四角形で表現し、その内部に議論される集合を円で描きます。集合 A の補集合は、この宇宙 U に対する A の相対補集合として、四角形の A の円の外側の領域で示されます。つまり、$U \setminus A$ が宇宙 U における A の絶対補集合 $A^C$ と見なされるのです。
また、空積集合（要素が0個の集合の共通部分）の概念も宇宙に関連して理解されます。宇宙がなければ、空積集合は「すべてのものの集合」という、一般的には扱いが困難な概念となり得ます。しかし、特定の宇宙 U を想定することで、空積集合をその宇宙 U そのものとして扱うことができます。このような規則は、ブール束に基づいた基本的な集合論のアプローチにおいて非常に有用です。一般的に、集合論全体の構造はブール束ではありませんが、宇宙 U の冪集合 $\mathcal{P}(U)$ はブール束となり、上記の補集合の定義がブール演算に対応します。また、宇宙 U と空集合は、このブール束における最大元および最小元として機能します。
通常の数学における宇宙
しかし、数学の研究対象は必ずしも一つの集合の内部に閉じているわけではありません。例えば、ある集合 X の部分集合の集まり（位相空間の開集合族など）や、X から X への関数、X 上の関係（X × X の部分集合）などを考える必要が生じます。これらの対象は、元々の集合 X そのものではなく、その冪集合 $\mathcal{P}(X)$ やデカルト積 $X \times X$ など、X から派生したより大きな集合の要素となります。したがって、関心の中心が X であったとしても、その上に構築される数学的構造を扱うためには、X よりもはるかに大きな「宇宙」が必要とされるのです。
このような要請に応える概念として、「上部構造」があります。ある集合 X から出発して、繰り返し冪集合を取り、それらを合併していくことで得られる階層構造全体の無限和です。
$S_0X = X$
$S_{n+1}X = S_nX \cup \mathcal{P}(S_nX)$
$\mathbf{S}X = \bigcup_{i=0}^{\infty} S_iX$
出発点として空集合 $X = \{\}$ を考えると、得られる上部構造 $\mathbf{S}\{\}$ は、全ての遺伝的有限集合を含みます。これは「有限主義者」と呼ばれる数学者の宇宙と考えることができます。
より一般的に、自然数全体の集合 $\mathbf{N}$ を出発点とした上部構造 $\mathbf{S}\mathbf{N}$ は、通常の数学で扱う多くの実体を含むと考えられます。例えば、自然数、順序対、関数、関係、さらにはデデキント切断などによる実数の構成といった多くの数学的対象が $\mathbf{S}\mathbf{N}$ の要素として表現されます。多くの「通常の」数学は、この $\mathbf{S}\mathbf{N}$ の中で展開されると見なされます。ただし、前節で述べたように $\mathbf{S}\mathbf{N}$ 自体はブール束ではなく、その要素である個々の集合 A の冪集合 $\mathcal{P}(A)$ がブール束となります。
集合論における宇宙
$\mathbf{S}\mathbf{N}$ が通常の数学の宇宙となりうるという主張は、公理的集合論の枠組みでより厳密な意味を持ちます。実際、$\mathbf{S}\mathbf{N}$ はツェルメロ集合論（ZF集合論の原型）の一つのモデルとなることが知られています。しかし、上述の上部構造の構成自体、特に無限和のステップには、1922年にZF集合論に付け加えられた「置換公理」が必要です。したがって、$\mathbf{S}\mathbf{N}$ の存在や性質に関する議論は、ツェルメロ集合論を超えた「メタ数学」の領域、具体的にはZF集合論の中で行われることになります。
さらに、空集合から出発し、冪集合と和集合を任意の順序数にわたって超限帰納法的に繰り返すことで得られる、より包括的な構造として「フォン・ノイマン宇宙 $\mathbf{V}$」があります。
$V_0 = \{\}$
$V_{\alpha+1} = \mathcal{P}(V_\alpha)$
$V_\lambda = \bigcup_{\beta < \lambda} V_\beta$ (λが極限順序数の場合)
$\mathbf{V} = \bigcup_\alpha V_\alpha$ (全ての順序数 α にわたる和)
フォン・ノイマン宇宙 $\mathbf{V}$ は集合ではなく「真のクラス」と呼ばれる非常に広大な集まりです。ZF集合論の「正則性公理」は、全ての集合がこの $\mathbf{V}$ の要素であることを主張しています。
圏論における宇宙
圏論においては、集合論の形式化とはやや異なる文脈で「宇宙」が用いられます。ここでは「グロタンディーク宇宙」と呼ばれる概念が登場します。これは、集合論の基本的な操作（和集合、共通部分、順序対、冪集合など）の結果がその内部に常に含まれるという「閉包性」を持つ特別な集合です。フォン・ノイマン宇宙 $\mathbf{V}$ が真のクラスであるのに対し、グロタンディーク宇宙はあくまで「集合」であることが特徴です。
グロタンディーク宇宙 U の利点は、真のクラスを直接扱うことによる形式的な問題を回避しつつ、巨大な数学的構造を議論できる点にあります。例えば、「全ての集合の圏」を考える代わりに、グロタンディーク宇宙 U の要素である集合（U-small集合と呼ばれる）のみを対象とする圏 U-Set を考えることができます。これにより、圏そのものが集合となるため、その上の構造（関手圏など）を集合論的に厳密に定義することが可能になります。
グロタンディーク宇宙を用いた議論ではしばしば「宇宙の公理」が仮定されます。これは「任意の集合 x に対し、x が要素となるようなグロタンディーク宇宙 U が存在する」という主張です。この公理は、どんな集合も何らかのグロタンディーク宇宙に対してU-smallと見なせることを保証し、数学全体をグロタンディーク宇宙の階層の中で捉える視点を提供します。この公理は、巨大な基数である「強到達不能基数」の存在と同値であることが知られています。
このように、「宇宙（Universe）」は数理論理学や数学基礎論において、議論の範囲を明確にするために、あるいは特定の数学的構造を構築・研究するための基盤として、様々なレベルで定義され活用されている概念です。
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