順序対

順序対とは

数学における順序対（じゅんじょつい、英: ordered pair）とは、2つの対象を特定の順序で組み合わせたものです。通常、(a, b) のように表記され、a を第一成分、b を第二成分と呼びます。順序対の重要な特徴は、要素の順序が意味を持つという点です。例えば、a ≠ b であれば、(a, b) と (b, a) は異なる順序対として扱われます。

順序対の基本

成分: 順序対 (a, b) において、a は第一成分、b は第二成分と呼ばれます。第一座標、第二座標、左射影、右射影といった呼び方もされます。
別名: 順序対は二つ組、長さ2の列、リストとも呼ばれます。特に数値の順序対は二次元ベクトルと見なすこともできます。
再帰的定義: 順序対の成分として別の順序対を取ることができ、これにより順序n組（例えば (a, (b, c))）を再帰的に定義することができます。

順序対の定義特性

2つの順序対 (a1, b1) と (a2, b2) が等しいのは、a1 = a2 かつ b1 = b2 の場合に限ります。つまり、順序対の等価性は、対応する成分同士が等しいことによって定義されます。

直積: 集合 X の要素を第一成分、集合 Y の要素を第二成分とする順序対全体の集合は、X と Y の直積[[集合]]と呼ばれ、X × Y と表記されます。
二項関係: X ∪ Y 上の二項関係は、X × Y の部分[[集合]]として定義されます。

順序対の様々な表現

数学では、記号 (a, b) は他の意味でも用いられることがあり、例えば開区間を表すことがあります。そのため、文脈によって記号の意味を解釈する必要があります。区別を明確にするために、⟨a, b⟩ のような異なる記号が使われることもあります。

順序対の射影

順序対 p が与えられたとき、第一成分と第二成分を取り出す操作はそれぞれ π1(p) および π2(p) と表記されます（左射影・右射影の πl(p), πr(p) としてもよい）。順序n組 t の i 番目の成分への射影は πni(t) で表されます。

直観的な定義とその限界

入門書などでは、順序対を「対象を特定の順序で並べたもの」と直観的に説明することがあります。この説明は、集合との比較を通じて理解を助けます。例えば、集合 {a, b} では、a と b が異なる場合にのみ区別できますが、順序対 (a, b) では要素が同じでも、順序が異なれば別のものとして扱われます。

しかし、この定義は厳密さに欠けるため、数学では順序対の定義特性を満たすものとして捉えることが重要です。ブルバキの『集合論』では、順序対を定義特性を満たす原始概念として扱っています。ただし、この方法では、存在と定義特性の両方を公理的に仮定する必要があるため、集合論の文脈で形式的に定義する方が一般的です。

集合論による順序対の定義

集合論では、すべての数学的対象は集合として定義されるため、順序対もまた集合として定義する必要があります。以下に代表的な定義をいくつか紹介します。

ウィーナーの定義

ウィーナーは、1914年に以下の定義を提唱しました。

(a, b) := { {{a}, ∅}, {{b}} }

この定義により、プリンキピア・マテマティカにおける型を集合として定義することが可能になりました。

ハウスドルフの定義

ハウスドルフは、ウィーナーとほぼ同時期に、以下の定義を提唱しました。

(a, b) := { {a, 1}, {b, 2} }

ここで、1と2はaともbとも異なる、互いに異なる対象です。

クラトフスキーの定義

クラトフスキーは1921年に以下の定義を提唱しました。この定義は今日最も広く用いられています。

(a, b) := { {a}, {a, b} }

この定義は、第一成分と第二成分が等しい場合でも有効に機能します。

クラトフスキーの定義における成分の取り出し

順序対 p が与えられたとき、第一成分が x であるという性質は、∀Y ∈ p : x ∈ Y で定式化されます。第二成分が x であるという性質は、(∃Y ∈ p : x ∈ Y) ∧ (∀Y1, ∀Y2 ∈ p : Y1 ≠ Y2 → (x ∉ Y1 ∨ x ∉ Y2)) で定式化されます。

第一座標は π1(p) = ⋃ ⋂ p で取り出すことができ、第二座標はやや複雑ですが、
π2(p) = { ⋃ ⋂ p if ⋂ p = ⋃ p
⋃ (⋃ p ∖ ⋂ p) if ⋂ p ≠ ⋃ p }で取り出すことができます。

クラトフスキーの定義の変形

クラトフスキーの定義の他に、以下のような変形も存在します。

reverse版: (a, b)reverse := { {b}, {a, b} }
short版: (a, b)short := { a, {a, b} }
01版: (a, b)01 := { {0, a}, {1, b} }

これらの定義も順序対の特性を満足します。ただし、short版では正則性公理が必要であり、自然数の構成によっては (0, 0)short が自然数の2と区別できない場合があります。

クワイン–ロッサーの定義

J. Barkley Rosserは、自然数のアプリオリな定義に基づく順序対の定義を採用しました。この定義では、関数 φ(x) = (x ∖ N) ∪ {n + 1 : n ∈ (x ∩ N)} を定義し、順序対 (A, B) を {φ(a) : a ∈ A} ∪ {φ(b) ∪ {0} : b ∈ B} と定義します。

この定義は、型理論やNFのような副産物において、対とその成分が同じ型を持つ「型レベル」の順序対とみなされる点が特徴です。

カントール–フレーゲの定義

カントールはフレーゲに従い、関係を原始概念として認め、順序対 (x, y) を {R : xRy} として定義しました。この定義は、現代の集合論では許容されません。

モースの定義

モースは、真のクラスを扱うことができるモース＝ケリー集合論において、成分が集合だけでなく真のクラスであるような順序対を定義しました。まず、クラトフスキーの方法で集合成分の順序対を定義し、それから (x, y) を (x × {0}) ∪ (y × {1}) として再定義しました。

圏論における順序対

集合の圏における圏論的な直積 A × B は、第一成分が A に属し、第二成分が B に属する順序対全体の成す集合を表現します。順序対の特性は、直積の普遍性と集合 X の元が1から X への射と同一視される事実から導かれます。

まとめ

順序対は数学における基本的な概念であり、その定義には様々な方法が存在します。集合論的な定義は、数学の厳密な基礎付けにおいて重要な役割を果たしています。この記事では、順序対の基本概念から、集合論的な定義、様々な定義方法、そして圏論との関係について解説しました。

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