完備圏

圏論における完備性、余完備性、双完備性

数学の抽象的な分野である圏論において、様々な圏の性質を分類し理解することは非常に重要です。その中でも特に基本的な、圏が持つ「構造の豊富さ」を示す性質として、「完備性（かんびせい）」、「余完備性（よかんびせい）」、そして「双完備性（そうかんびせい）」があります。

完備圏（Complete Category）

まず、完備圏とはどのような圏でしょうか。これは、任意の小さな図式に対する極限（きょくげん）が存在する圏のことを指します。

ここで言う「図式（ずしき）」とは、ある小さな圏Jから考えている圏Cへの関手のことです。小さな圏Jとは、対象の集まりも射の集まりも集合となっている圏のことです。このような小さな圏Jによって「添え字付けられた」C内の対象と射の集まりを考えることができます。そして、その「図式」が与えられたときに、それに対する「極限」とよばれる特別な対象が、常に圏Cの中に存在することを要求するのが完備性という性質です。

極限は、図式内のすべての対象や射と一貫性を持つような、ある意味で「最も普遍的な」性質を持つ対象として定義されます。例えば、二つの対象の積（デカルト積のようなもの）や、複数の対象の共通部分のようなもの（イコライザのようなもの）などが極限の特定の形として現れます。完備圏であるということは、このような積やイコライザ、さらにはより複雑な構造をもつ極限が、どのような小さな形（小さな図式）で与えられても、必ずその圏のなかに構成できるということを意味します。

したがって、完備圏は、特定の種類の「構成物」や「普遍的な対象」を常に内部に持っている、構造的に豊かな圏だと言えます。

余完備圏（Cocomplete Category）

圏論には「双対原理」という重要な考え方があります。これは、ある定義や定理を、すべての矢印（射）の向きを逆転させることで、新しい定義や定理が得られるというものです。完備性という概念にも、この双対原理によって得られる対応する概念があります。それが余完備性です。

余完備圏とは、完備圏の定義における「極限」をその双対である「余極限（よきょくげん）」に置き換えたものです。つまり、任意の小さな図式に対する余極限が存在する圏のことを余完備圏と呼びます。

余極限も極限と同様に、図式内の対象や射に対して普遍的な性質を持ちますが、その普遍性の方向が逆になります。例えば、二つの対象の余積（非交和や直和のようなもの）や、複数の対象の貼合せのようなもの（コイコライザやプッシュアウトのようなもの）などが余極限の特定の形として現れます。余完備圏であるということは、これらの余極限がどのような小さな形で与えられても、必ずその圏のなかに構成できるということを意味します。

完備性が圏における「収束」や「共通部分」的な構造の豊かさを示すとすれば、余完備性は「拡大」や「和」的な構造の豊かさを示すと言えるでしょう。

双完備圏（Bicomplete Category）

最後に、双完備圏とは、文字通り完備性と余完備性の両方の性質を併せ持つ圏のことです。つまり、双完備圏においては、任意の小さな図式に対する極限と、任意の小さな図式に対する余極限が、常に両方とも存在します。

双完備圏は、極限と余極限という双対的な種類の普遍的な構成物を常に持つ、非常に構造的に豊かな圏です。数学の様々な分野で現れる基本的な圏の多く（例えば、集合の圏や位相空間の圏など）がこの双完備性という強い性質を持っています。この性質は、それらの圏の内部で様々な数学的な構造を自由に構成できる能力を保証し、理論を展開する上で非常に重要な役割を果たします。

完備性、余完備性、双完備性は、圏の構造を深く理解するための基本的な概念であり、圏論およびそれを用いる様々な数学分野の研究において不可欠なものです。

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