完全体

完全体の定義とその特徴

代数学において、体（Field）kが完全体（Perfect field）であるか否かは、いくつかの条件によって判別されます。これらの条件はある意味で互いに同値であり、それぞれが体の性質を示しています。具体的には、以下のいずれかの条件が成り立つとき、体kは完全体と呼ばれます。

1. k上のすべての既約多項式が相異なる根を持つ。
2. k上のすべての既約多項式が分離的である。
3. kのすべての有限次拡大が分離的である。
4. kのすべての代数的拡大が分離的である。
5. kは標数0である、または標数p > 0であり、すべての元がpの冪である。
6. kは標数0である、または標数p > 0であり、フロベニウス自己準同型が同型写像である。
7. kの分離閉包が代数的閉体である。
8. すべての被約可換k-多元環Aは分離多元環である。

これらの条件のいずれかが成り立たない場合、その体kは不完全体（Imperfect field）と呼ばれます。

完全体の例

完全体にはいくつかの具体例があります。主なものは以下の通りです。

• - 標数0のすべての体（例：有理数体、複素数体など）
• - すべての有限体（例えば、素数pによって定義される体Fp = Z/pZ）
• - すべての代数的閉体
• - 拡大で全順序付けられた完全体の和集合
• - 完全体上代数的な体

実際、数学的な文脈では、大多数の体が完全体として扱われます。一方、不完全体は標数が正の代数幾何学において多く見られ、それらは素体上で超越的である必要があります。

不完全体の例

不完全体の一例としては、不定元X上の全ての有理関数からなる体k(X)が挙げられます。ここでkの標数はp > 0であるため、Xはk(X)においてp乗根を持たないことがわかります。

完全体上の体拡大

完全体上の任意の有限生成体拡大は、分離的に生成されるため、特に完全体の特性を生かしています。この性質は、体の拡大が分離的であることを保証します。

完全閉包と完全化

体kの完全閉包（perfect closure）は、標数pのときすべてのpr乗根を添加した体として定義され、通常k^{p^{-∞}}という記法で表されます。この閉包は分離性を判断するツールとしても使用できます。一般的には、可換k-多元環Aが分離的であるための条件は、A ⊗k k^{p^{-∞}}が被約である場合に限ります。

完璧化（perfection）という言葉も重要で、これは体Aの完全環R(A)に関連します。R(A)は標数pの完全環であり、特定の写像を持っていて、他の完全環との間に一意的な対応を提供します。具体的には、Aの元のp乗根を追加することによってR(A)を構成することが可能です。

まとめ

完全体の概念は代数的な構造に深く関わるものであり、特にガロワ理論においては、その性質が非常に重要な役割を果たします。完全体はその性質から、扱いやすい特性を持つため、数学の多くの分野で不可欠な存在となっています。標数0の体や有限体が持つ完全性は、数論や代数幾何学において特別な意味を持つことがあり、これに対する理解は、さらなる数学的探求に繋がるでしょう。

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