既約多項式

既約多項式とは、代数学、特に多項式環の理論において中心的な役割を果たす概念です。これは、ちょうど整数を素数の積に分解するように、多項式をそれ以上分解できない「素」な多項式に分解する際に現れます。

定義

より厳密には、整域 R 上の一変数多項式環 R[X] において、ある多項式 $f$ が既約であるとは、以下の二つの条件を満たすことを指します。

1. 多項式 $f$ は、R[X] における単数（逆元を持つ元）ではありません。
2. もし多項式 $f$ が、R[X] の二つの元 $g$ と $h$ の積として、$f = gh$ と表されるならば、必ず $g$ か $h$ のどちらか一方が R[X] における単数となります。

この条件を満たさない多項式は、可約多項式と呼ばれます。

歴史と素数との類似

既約多項式の概念は、古くから整数係数の多項式の因数分解に関連して研究されてきましたが、係数の範囲をより一般的なものに拡張し、現代的な意味での既約性を導入したのは、19世紀の数学者ニールス・アーベルであるとされています。

特に、係数環 R が整数環 $\mathbb{Z}$ や体（例えば実数体 $\mathbb{R}$ や複素数体 $\mathbb{C}$）のような一意分解整域である場合、既約多項式は多項式環における素元（素数に対応する概念）と同義になります。これは、任意の多項式が一意的に（単数倍と順序を除いて）既約多項式の積に分解できるという、多項式の因数分解の一意性を示唆する重要な性質です。

例

具体的な例を見てみましょう。

整数係数の多項式 $X^2 + 1 \in \mathbb{Z}[X]$ は、これ以上整数係数の範囲で一次の多項式の積に分解できないため、既約多項式です。
一方、$X^2 - 1 \in \mathbb{Z}[X]$ は $(X+1)(X-1)$ と分解できるため、可約多項式です。
係数環が変わると既約性も変わります。例えば、有限体 $\mathbb{F}_2$ 上で考えると、$X^2 + 1 = (X+1)^2$ と分解できるため、$\mathbb{F}_2[X]$ では可約になります。
数論で重要な役割を果たす円分多項式 $\Phi_d(X) \in \mathbb{Q}[X]$ は、有理数体 $\mathbb{Q}$ 上で常に既約多項式です。
* 体上の代数的数に対して定義される最小多項式も、必ず既約多項式となります。

既約性の判定法

既約性を判定するための有用な手法も存在します。代表的なものの一つに、アイゼンシュタインの既約判定法があります。これは、整域 R の素イデアル P に対して、以下の条件を満たすモニック多項式 $f(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \dotsb + a_n \in R[X]$ が既約であることを保証するものです。

1. 定数項を除く全ての係数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ が、素イデアル P に属する。
2. 定数項 $a_n$ は P に属するが、P の平方 $P^2$ には属さない。

この判定法を用いると、例えば任意の素数 p と自然数 m に対して、整数係数多項式 $X^m - p$ が既約であることが簡単に示せます。ただし、この判定法は既約であるための十分条件であって、必要条件ではありません。例えば、先に挙げた $X^2 + 1 \in \mathbb{Z}[X]$ は既約ですが、アイゼンシュタインの判定法では直接的に既約性を判定できません。

有限体上の既約多項式

また、有限体上の既約多項式の研究は、符号理論や暗号理論などに応用があります。位数 q の有限体上における、次数 n のモニックな既約多項式の総数は、メビウス関数 $\mu$ を用いて次の式で与えられます。

$$ \frac{1}{n} \sum_{d|n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) q^d $$

このように、既約多項式は代数学の様々な分野で重要な概念であり、多項式の構造を理解するための基礎となっています。

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