実二次正方行列

実二次正方行列：詳細解説

実二次正方行列とは、成分がすべて実数である2行2列の正方行列のことです。数学の線形代数学において、重要な役割を果たします。本記事では、実二次正方行列の性質、演算、幾何学的解釈について詳しく解説します。

行列の演算と行列環

実二次正方行列は、行列の和と積の演算が定義されます。このため、実二次正方行列全体の集合は行列環をなし、M(2, R) と表記されます。

任意の実二次正方行列 q を以下のように表します。


q = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}


ここで、a, b, c, d は実数です。

この行列 q に対して、対合 q を以下のように定義します。


q = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}


このとき、以下の関係が成り立ちます。


qq = qq = (ad - bc)I


ここで、I は2次単位行列、ad - bc は行列 q の行列式です。行列式が 0 でない場合 (ad - bc ≠ 0)、行列 q は正則行列となり、その逆行列 q⁻¹ は以下のように表されます。


q⁻¹ = \frac{1}{ad - bc}q


正則行列全体の集合は一般線型群 GL(2, R) を形成します。GL(2, R) は、M(2, R) の単元群と見なすことができます。また、M(2, R) は実数体上四次元のベクトル空間であり、実数体上の結合多元環として理解できます。

線形写像としての解釈

任意の実二次正方行列は、二次元の数ベクトル空間からそれ自身への線形写像と一対一に対応します。例えば、行列 q は以下の線形写像を表します。


\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by\\ cx + dy \end{bmatrix}

平面部分環族

M(2, R) 内のスカラー行列（単位行列 I の実数倍）の全体は実数直線と見なせます。この実数直線は、M(2, R) の可換部分環 Pm のすべてが共有する部分です。

m² ∈ {-I, 0, I} なる 2 × 2 実行列 m に対して、Pm = {xI + ym | x, y ∈ R} と定義すると、Pm は M(2, R) の可換部分環となり、M(2, R) = ∪m: m² ∈ {-I, 0, I} Pm を満たします。

これらの可換部分環は、通常の複素数平面、二重数平面、分解型複素数平面に対応します。

等積変換行列と特殊線型群

微分ベクトルの変換において、面積が保存される変換（等積変換）全体の集合は、行列式が 1 である行列からなる特殊線型群 SL(2, R) と同一視できます。SL(2, R) = {g ∈ M(2, R) | det(g) = 1} です。

行列変数の関数

M(2, R) の可換部分環族は、この行列環の関数論を決定します。平方根関数や対数関数を考える際には、各部分平面 Pm の持つ特別な代数構造を考慮する必要があります。

実数体の二次拡大環

実二次正方行列は、通常の複素数、二重数、分解型複素数のいずれかとして解釈できます。任意の二次正方行列は、これらの一般化された複素数平面のいずれかに属し、その所属する平面によって行列の性質が決定されます。

参考文献

本記事の内容をより深く理解するために、以下の文献を参照することをお勧めします。

Rafael Artzy (1965) Linear Geometry
Helmut Karzel & Gunter Kist (1985) "Kinematic Algebras and their Geometries"
Svetlana Katok (1992) Fuchsian groups
* Garret Sobczyk (2012). “Chapter 2: Complex and Hyperbolic Numbers”

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