根と係数の関係

多項式の根と係数の関係

多項式の根と係数の関係とは、多項式の係数と根の間に成り立つ関係式のことです。この関係式を用いることで、方程式の解を求めることなく、根の様々な性質を係数から知ることができます。

一般的なn次方程式

まず、一般のn次方程式について考えます。n次方程式


anxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0 (aₙ ≠ 0)


の根をα₁, α₂, ..., αₙとします。このとき、根と係数の関係は、根のk次基本対称式sₖ⁽ⁿ⁾を用いて次のように表されます。


sₖ⁽ⁿ⁾ = (-1)ᵏ (aₙ₋ₖ / aₙ) (k = 1, 2, ..., n)


ここで、sₖ⁽ⁿ⁾は、根α₁, α₂, ..., αₙからk個の根を選んで掛け合わせたものの総和です。例えば、

s₁⁽ⁿ⁾ = α₁ + α₂ + ... + αₙ
s₂⁽ⁿ⁾ = α₁α₂ + α₁α₃ + ... + αₙ₋₁αₙ
sₙ⁽ⁿ⁾ = α₁α₂...αₙ

となります。この式は、n次方程式の係数と根の間に成り立つ関係を示しており、係数が分かれば、根の和、根の積、そしてそれらの組み合わせによる様々な対称式を計算することができます。

具体的な例

それでは、具体的な例を見ていきましょう。

二次方程式

二次方程式 ax² + bx + c = 0 の根をα, βとすると、根と係数の関係は次のようになります。

α + β = -b/a
αβ = c/a

これは、二次方程式の解の公式から導くこともできますし、(x-α)(x-β) = 0 を展開して係数を比較することによっても導くことができます。

三次方程式

三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の根をα, β, γとすると、根と係数の関係は次のようになります。

α + β + γ = -b/a
αβ + βγ + γα = c/a
αβγ = -d/a

四次方程式

四次方程式 ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 の根をα, β, γ, δとすると、根と係数の関係は次のようになります。

α + β + γ + δ = -b/a
αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = c/a
αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = -d/a
* αβγδ = e/a

高次方程式

5次以上の高次方程式については、一般的に根の公式は存在しません(アーベル-ルフィニの定理)。しかし、根と係数の関係は依然として成り立ちます。 係数と根の関係は、どのような次数の方程式でも同様の関係が成り立ちます。

証明

根と係数の関係の証明は、代数学の基本定理と因数定理を用いて行われます。n次方程式f(x) = 0の根をα₁, α₂, ..., αₙとすると、f(x)は次のように因数分解できます。

f(x) = aₙ(x - α₁)(x - α₂)...(x - αₙ)

この式を展開し、係数を比較することで、根と係数の関係式が導かれます。

まとめ

根と係数の関係は、多項式の根の性質を係数から直接読み取ることができる重要な定理です。二次方程式から高次方程式まで、様々な方程式において適用でき、代数学における基礎的な概念として理解しておくことが重要です。

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