射影的対象

射影的対象の概念とその意義

圏論において、射影的対象（projective object）は、射影的加群を一般化した重要な概念です。圏 $\mathcal{C}$ の対象 $P$ が射影的であるということは、ある特定の関手、すなわち $\operatorname{Hom}(P,-)$ が全射を保つことを意味しています。これは具体的には、任意の射 $f: P \to X$ が、任意の全射 $Y \to X$ を介して分解できるという性質を含んでいます。

さらに、もし圏 $\mathcal{C}$ がアーベル圏であるなら、対象 $P \in \mathcal{C}$ が射影的であることは、関手 $\operatorname{Hom}(P,-)$ が完全関手であることと同義です。ここで、$\mathbf{Ab}$ はアーベル群の圏を指し、射影的対象の双対概念として、単射的対象の概念が存在します。アーベル圏の対象 $Q$ が単射的である場合、それは $\mathcal{C}$ から $\mathbf{Ab}$ への関手 $\operatorname{Hom}(-, Q)$ が完全であることが条件です。

充分射影的対象をもつアーベル圏

射影的対象を十分に持つ圏はアーベル圏と呼ばれます。具体的には、アーベル圏 $\mathcal{A}$ が「充分射影的対象を持つ」とは、$\mathcal{A}$ のあらゆる対象 $A$ に対して、射影的対象 $P$ と完全列 $P \to A \to 0$ が存在することを意味します。これにより、射 $p: P \to A$ は全射であることが保証されます。

具体例

次に、具体的な例を挙げてこの概念を詳しく見ていきましょう。1を持つ環 $R$ を考え、左 $R$ 加群の圏 $\mathcal{M}_R$ を取り上げます。この場合、$\mathcal{M}_R$ はアーベル圏であるため、その射影的対象はまさに射影左 $R$ 加群です。

特に、$R$ 自身は $\mathcal{M}_R$ における射影的対象であり、この事実は圏論の視点からも重要です。また、双対的に $\mathcal{M}_R$ における単射的対象は、単射的左 $R$ 加群であることが確認できます。

左（または右）$R$ 加群の圏は、いずれも充分射影的対象を持つことが知られています。これは、任意の左（または右）$R$ 加群 $M$ に対して、$M$ の生成集合 $X$ によって生成される自由加群 $F$ を選ぶことができるためです。そこで、標準的な射影 $\pi: F \to M$ が求められ、所望の全射が確保されます。

参考文献

このような射影的対象の性質について、具体的には次の文献に詳しい情報が記されています。

• - Mitchell, Barry (1965). _Theory of categories_, Pure and applied mathematics, 17, Academic Press.

以上のように、射影的対象の概念は圏論の中でもかなりの位置を占めており、特にアーベル圏の研究や応用において重要な役割を果たします。

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